Алгебра матриц.

Две матрицы одной размерности равны, если они состоят из одинаковых элементов.

.

Равенство, сложение и вычитание матриц определяются только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц одной размерности называется матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

.

, .

Пример:

, , = .

Свойства сложения:

1⁰. - коммутативность.

2⁰. - ассоциативность.

3⁰.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на это число:

.

Матрицу называют матрицей противоположной матрице , обозначенной .

Замечание: Вычитание может быть выполнено таким образом:

.

Свойства операции умножения на число:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

Произведение матриц и существует только тогда, когда число столбцов равно числу строк .(то есть “ширина” матрицы , равна “высоте” матрицы ).

Матрица - произведение имеет столько строк, сколько их в , и столько столбцов, сколько их в матрице .

=

.

Элемент матрицы равен сумме произведений элементов - той строки матрицы на элементы -того столбца .

Пример:

.

.

Замечание: две квадратных матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить.

Свойства умножения:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. В общем случае свойство коммутативности не выполняется: .

5⁰. .

6⁰. .

Матрица полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной относительно данной. Транспонированную матрицу обозначают .

.

Свойства транспонированной матрицы:

1⁰. .

2⁰. , где - число.

3⁰. .

4⁰. .

§2. Определиетли.

Рассмотрим квадратную матрицу -ного порядка.

.

Каждой квадратной матрице может быть поставлена в соответствие некоторая числовая характеристика называемая определителем или детерминантом. Порядок определителя и матрицы совпадает (матрица – таблица, определитель - число).

1. - матрица первого порядка.

.

2. - матрица второго порядка.

.

3. - матрица третьего порядка.

Правило треугольника:

Слагаемые “+”. Слагаемые “-”.

4. Минором данного элемента , называется определитель полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца на пересечении, которых стоит данный элемент .

определитель - порядка.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор взятый со знаком (“+” если - четное и “-”, если - не четное).

.

Определитель равен, сумме произведений элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

.

Это правило универсально используется для вычисления определителей порядка.

Пример:

Свойства определителей:

1⁰. Величина определителя не измениться при его транспонировании (то есть замене строк столбцами):

.

.

Это свойство равноправия строк и столбцов. Строки и столбцы носят общее название “рядов” определителя.

2⁰. При перестановке двух параллельных рядов определителя знак определителя меняется на противоположный.

.

3⁰. Определитель равен 0, если все элементы некоторого его ряда равны 0.

.

4⁰. Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда равен 0.

5⁰. Если элементы некоторого ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда или равны линейной комбинации элементов параллельных рядов, то такой определитель равен 0.

6⁰. Общий множитель элементов некоторого ряда можно вынести за знак определителя. И наоборот, чтобы умножить определитель на некоторое число достаточно умножить на это число элементы некоторого ряда.

.

8⁰. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда определителя прибавить элементы параллельного ряда умноженные на некоторое число.

??????????????????????????????.

9⁰. Сумма произведений элементов некоторого ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равно 0. Умножим элементы первого ряда на алгебраические дополнения второго ряда.

.

По формуле (1) определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения. Таким образом элементы можно записать вместо элементов второй строки. Получившийся определитель по свойству 4⁰ равен 0.

10⁰. Если и - квадратные матрицы одинаковой размерности, то

.

11⁰. Определители диагональной и треугольной матриц равен произведению элементов стоящих на их главных диагоналях:

.

.

В справедливости всех перечисленных свойств можно убедиться непосредственным вычислением определителей.

Дата добавления: 2015-07-19