Обратная матрица.

Понятие обратных матриц вводится для матриц только строго квадратных. Рассмотрим квадратную матрицу порядка. Матрица называется не вырожденной (не особенной), если ее определитель отличен от нуля.

Матрица является обратной матрицей для матрицы , если выполняется условие:

.

Теорема: Чтобы для квадратной матрицы существовала обратная матрица , необходимо и достаточно, чтобы матрица была не врожденной.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть существует, то есть .

/ по свойству определителей 10⁰./ . (*)

Из (*) следует, что , то есть - не вырожденная.

2. Достаточность.

Пусть матрица не вырожденная, то есть . Покажем, что существует .

Доказательство проведем для случая квадратной матрицы третьего порядка.

.

1⁰. Построить матрицу элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

.

2⁰. Транспонируем матрицу .

3⁰. Умножим на число .

(**)

Покажем, что матрица (**) является обратной по отношению к матрице .

По :

Перемножим и .

=/ получаем по формуле (1)0 по свойству 9⁰./

=/ по свойству умножения матриц на число, получаем/ .

Аналогично, можно показать, что .

Правило нахождения обратной матрицы:

1⁰. Убедиться, что не вырожденная, то есть сосчитать .

2⁰. Составить матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы .

3⁰. Транспонировать полученную матрицу.

4⁰. Транспонированную матрицу умножить на .

5⁰. Проверка правильности вычислений:

Матрица состоящая из алгебраических дополнений к матрице называется присоединенной к матрице и обозначается .

(2)

Свойства обратной матрицы:

1⁰. , если существуют и .

2⁰. .

3⁰.

4⁰. .

5⁰. Если , то .

Решение линейных матричных уравнений:

1⁰.

Умножим обе части уравнения на матрицу слева:

.

2⁰.

Уравнение умножаем на справа:

3⁰.

Умножаем обе части уравнения: слева на , справа на .

.

Дата добавления: 2015-07-19