Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу .

Ранее было введено понятие минора для элемента . Обобщим понятие минора для матриц. Выберем из - строк, и - столбцов, причем

, где - меньшее из чисел .

Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка S. Определитель этой матрицы называется минором порядка матрицы .

- первая и третья строка; второй и четвертый столбец.

- первые и вторые столбцы и строки.

Можно построить и другие миноры второго порядка.

Очевидно, что каждый элемент матрицы является минором первого порядка. Среди рассматриваемых миноров различных порядков могут быть как нулевые так и отличные от 0 миноры.

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличных от 0 миноров. Если все миноры матрицы равны 0, то ранг матрицы обозначают .

Свойства ранга матрицы:

1⁰. , где - минимальное значение из двух чисел и - размеров матрицы.

2⁰. Ранг матрицы равен 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны 0.

3⁰. Ранг квадратной матрицы порядка равен , если матрица не вырожденна.

4⁰. .

5⁰. Если все миноры порядка равны 0, то все миноры более высокого порядка так же равны 0.

Это свойство следует из свойства разложения определителей по элементам некоторого ряда.

Метод вычисления ранга, основанный на свойстве 4⁰:

а) Если среди элементов матрицы есть не нулевые, то ранг отличен от нуля.

б) Строим миноры второго порядка. Если все они равны 0, то ранг равен 1.

в) Если есть хотя бы один минор второго порядка отличный от нуля, строим миноры третьего порядка. Если все они равны 0, .

г) Если есть хотя бы один из миноров третьего порядка, есть отличный от нуля, то строим миноры четвертого порядка и так далее.

Метод связан с вычислением большого числа определителей и не удобен на практике.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) Умножение некоторого ряда матрицы на число :

2) Прибавление к одному ряду матрицы другого параллельного ряда умноженного на любое число .

3) Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

Теорема: “О нахождении обратной матрицы”.

Если к единичной матрице порядка применить все те же элементарные преобразования и в той же последовательности, которые не вырожденную матрицу приводят к единичной, то матрица перейдет в матрицу (обратную к ).

Рассматривают матрицу размером вида:

И выполняют элементарные преобразования до тех пор пока на месте не получиться единичная матрица, а месте будет получена .

Матрица размеров называется квазитреугольной (ступенчатой, если имеет вид):

Теорема: “О рангах матрицы”.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не измениться. С помощью элементарных преобразований матрицу произвольных размеров можно привести к квазитреугольному виду. Ранг квазитреугольной матрицы равен , поскольку ее минор с главной диагональю равен произведению , все миноры более высокого порядка равны 0, так как содержат нулевые строки.

Пример: Найти ранг матрицы.

[*] .

[*]- 1.Умножаем первую строку на минус четыре и складываем со второй.

2.Умножаем первую строку на минус три и складываем с третьей.

3. Умножаем первую строку на пять и складываем с четвертой.

Дата добавления: 2015-07-19