Определение площади под нормальной кривой

450 ЧАСТЬ IV. Количественные исследования и анализ их результатов

Кривая стандартного нормального распределения, стандартное отклонение и площадь под кривой

Характеристики стандартного нормального распределения позволяют опреде­лить площадь любой конкретной его области. Границы этой области определяются как расстояния от среднего в единицах стандартного отклонения (Z-значения). Нормальная кривая, воспроизведенная в нижней части рис. 16.1, иллюстрирует от­ношение между площадью и стандартным отклонением.

Большая часть площади под стандартным нормальным распределением распо­лагается в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего. Тот факт, что большая часть площади под кривой находится ближе к среднему, вполне понятен, поскольку среднее является центром тяжести распределения. Как видно из рис. 16.1, около 34% общей площади под нормальной кривой находятся в пределах одного стандартного отклонения с положительной стороны от среднего, и 34% находятся в пределах одного стандартного отклонения с отрицательной сторо­ны от среднего. Таким образом, около 68% общей площади под нормальной кривой лежит в пределах ± одно стандартное отклонение от среднего. Два стандартных от­клонения от среднего охватывают почти всю площадь под кривой (95,44%), и очень небольшая часть площади лежит вне трех стандартных отклонений (0,28%).

Таким образом, площадь под кривой связана со стандартным отклонением. Если вам известно расстояние от среднего в единицах стандартного отклонения для любой точки нормальной кривой, вы можете определить площадь под кривой, располагающуюся ме­жду этой точкой и средним, или процент общей площади кривой, лежащей выше и ниже этой точки. Далее, зная расположение любых двух точек в терминах их отклонения от среднего в единицах стандартного отклонения, вы можете вычислить процент площади, находящейся между точками. К счастью, вам не придется самим вычислять площадь под кривой, результаты вычислений представлены в табл. Б2 Приложения Б.

Площадь под кривой распределения и вероятность

Вероятность указывает на возможность того, что произойдет определенное собы­тие. Пятидесятипроцентная вероятность означает, что событие должно произойти, в среднем, 50 раз из ста, или один раз из двух. Площадь под кривой нормального рас­пределения играет важную роль в статистическом анализе и последующем процессе принятия решений, так как ее можно рассматривать в качестве вероятности. Эта ве­роятность отражает возможность получения любого определенного значения с уче­том его расстояния от среднего.

Соотношение между величиной площади под кривой и вероятностью легко уви­деть при изучении примеров, представленных на рис. 16.2.

• Пример А иллюстрирует вероятность получения значения ниже и выше опреде­ленной точки на нормальной кривой. Поскольку в данном примере 84,13% об­ласти под кривой располагается левее точки среднее плюс одно стандартное отклонение (затемненная область распределения), то вероятность получения балла, равного этому значению или меньшего, составляет 0,8413. Вероятность получения балла большего, чем одно стандартное отклонение от среднего (светлая область распределения), составляет 0,1587 (100% — 84,13%).

ГЛАБА 16. Количественный анализ данных: статистический вывод 451

Дата добавления: 2015-07-16