Эквивалентность

Двуместное однородное отношение на множестве А называется эквивалентностью, если - одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Примеры эквивалентностей.

1. Отношение равенства для чисел.

2. Отношение подобия фигур (каждая фигура подобна себе – рефлективность, всегда, если фигура α подобна фигуре β, то и фигура β подобна α – симметричность; всегда, если фигура α подобна фигуре β, а фигура β подобна фигуре γ, то фигура α подобна фигуре γ - транзитивность).

3. Отношение параллельности прямых, лежащих в одной плоскости (каждая прямая параллельна себе – рефлективность, для любых прямых и , если , то и - симметричность, для любых прямых , и , если и , то - транзитивность).

Говорят, что является разбиением множества А, если и , если .

Пусть - эквивалентность на А и , тогда множество называется классом эквивалентности, порожденным элементом а, и обозначается через .

Подчеркнем, что .

Классы эквивалентности обладают свойствами:

а) ;

б) если , то ;

в) если , то .

Доказательство этих свойств дано в [1], с. 44-45.

Теорема. Если - эквивалентность на А, то система классов эквивалентности задает разбиение множества А. Наоборот, если - разбиение множества А, то определим следующее двуместное отношение на А: для некоторого . Тогда является эквивалентностью на А.

Доказательство этой теоремы можно найти в [1], с. 45.

Отметим, что данная теорема позволяет строить различные эквивалентности на одном и том же множестве А. например, пусть . Зададим его разбиение , тогда получим на А следующую эквивалентность . Разбиению же соответствует эквивалентность . Эквивалентность имеет следующие классы эквивалентности: , , которые задают разбиение множества .

Дата добавления: 2015-11-14