Множества. Равенство множеств

ЧАСТЬ 1

В первой части методического пособия раскрыта содержательная основа программного материала по курсу математической логики. Основные понятия курса и теоремы иллюстрируются примерами, приведены образцы решения типовых задач, предложены контрольные вопросы и упражнения для самостоятельного решения.

ТЕМА I

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. ОТНОШЕНИЯ

Множества. Равенство множеств

Множеством называется совокупность М некоторых объектов (элементов), мыслимая как единое целое. Если а – элемент множества, то пишем , если не является элементом М, то пишем .

Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А, тогда множество В называется подмножеством множества А (обозначается ). Ясно, что для любого множества А всегда имеет место .

- означает пустое множество, т.е. множество, не имеющее ни одного элемента. Полагают, что для любого множества А.

Аксиома экзистенциальности (аксиома объемности) утверждает, что каждое множество однозначно определяется своими элементами. Если - все элементы множества А, то можно записать . При этом не предполагается, что все элементы попарно различны. Одно и то же множество можно обозначать многими способами, например, .

В дальнейшем целесообразно считать, что если , то все попарно различны.

Если , то для множеств и верно, что и , но множество не является подмножеством А (обозначается ), так как элемент . Если , то множество А имеет 8 различных подмножеств: .

Обращаем внимание, что следует различать элемент а и множество , единственным элементом которого является а. , так как - одноэлементное, но не пустое множество, единственным элементом которого является пустое множество .

Множество М можно задавать указанием какого-либо свойства Р, которым обладают все элементы множества М и не обладает ни один элемент, не принадлежащий М, что обозначается через . Например, , для некоторого - множество всех четных натуральных чисел.

Алфавит – это множество, элементами которого являются элементарные (неразложимые) знаки, называемые также буквами. Например, множество А, состоящее из десяти арабских букв, можно принять за алфавит. Другой пример алфавита – это множество, состоящее из заглавных букв латинского алфавита. Алфавит содержит бесконечное множество букв, считаем, что отлично от , если , рассматривается как единый символ.

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества , которое называется универсальным.

Дата добавления: 2015-11-14