Алгебра множеств

Объединением множеств А и В (обозначается через ) называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному их множеств А или В.

.

Пересечением множеств А и В (обозначается через ) называется множество, элементы которого принадлежат одновременно множеству А и множеству В.

Множества А и В называется непересекающимися, если .

Разностью множеств А и В (обозначается через ) называется множество, элементы которого принадлежат А и не принадлежат В.

Разность называется дополнением множества А и обозначается через .

Симметрической разностью множеств А и В (обозначается через ) называется объединение разностей и .

Для графической иллюстрации отношений, которые могут иметь место между подмножествами универсального множества , часто используют так называемые диаграммы Эйлера-Венна: универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножества – в виде кругов. Так, множества , , изображаются областями, заштрихованными на соответствующих рисунках

Свойства операций над множествами. В рекомендуемой литературе указан ряд свойств операций над множествами. Заметим при этом, что в учебных пособиях рассматривают и другие операции над множествами (например, симметрическую разность), но при первоначальном ознакомлении с алгеброй множеств целесообразно ограничиться изучением четырех важнейших операций, а также их основных свойств, которые сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Для любых множеств А и В справедливы следующие равенства:

(коммутативность)

(ассоциативность)

(дистрибутивность)

В качестве примера приведем доказательство равенства 3 (остальные равенства доказываются аналогично). Пусть х – произвольный элемент : но тогда и только тогда, когда х принадлежит хотя бы одному из этих множеств, т.е. 1) или 2) . А тогда и только тогда, когда и одновременно. Но 1) и или 2) тогда и только тогда, когда и . Но и тогда и только тогда, когда . Итак, мы доказали, что тогда и только тогда, когда , т.е. множества и состоят из одних и тех же элементов, и, следовательно, равенство 3 верно. Подобное доказательство этой теоремы, также как и другие свойства операций над множествами, можно найти в [1] с. 29-33.

Дата добавления: 2015-11-14