Читайте также:
|
|
Из школьного курса математики студенту известно понятие упорядоченной пары элементов, вводимое там на интуитивном уровне. В данном разделе студент должен познакомиться с формальным определением упорядоченной пары и, в общем случае, с определением упорядоченного набора из элементов.
Важно усвоить и сам индуктивный метод, используемый для определения.
Дадим определение упорядоченного набора:
а) набор двух элементов а и называется упорядоченной парой;
б) если , то упорядоченным набором элементов называется набор , т.е. упорядоченная пара элементов и .
Упорядоченный набор называют кортежем или последовательностью, или, при , упорядоченной -кой, или -кой (тройкой, четверкой и т.д.), а число - длиной кортежа . При этом кортеж длины 1 отождествляется с а. Следует особо подчеркнуть, что по записи кортежа не только его члены, но и их порядок восстанавливаются однозначно. Так, , так как хотя эти тройки и состоят из одних и тех же элементов, но элементы записаны в различном порядке.
Покажем, что тогда и только тогда, когда одновременно.
Согласно определению кортежа, достаточно доказать утверждение для . Из определения упорядоченной пары следует, что тогда и только тогда, когда . Последнее соотношение возможно тогда и только тогда, когда или , т.е. , а это возможно только при . Но тогда и только тогда, когда . Отсюда .
Понятие упорядоченного набора позволяет теперь ввести основные факты теории отношений.
Множество называется декартовым (прямым) произведением множеств и обозначается через .
Пример. Если , то .
Если , то называется -той декартовой степенью множеств А и обозначается . При .
Подмножество множества называется -местным
( -арным) отношением между элементами множеств . Если , то называют однородным отношением, определенным на множестве А. Индекс над указывает на местность отношения. При индекс обычно не ставят. Такие отношения называются двуместными или бинарными.
Отметим, что в окружающем мире, и особенно в математике, нам приходится сталкиваться с многочисленными примерами отношений. Так отношение на множестве действительных чисел состоит из всех пар вида , где вторая компонента не меньше первой ( и др.); отношение параллельности на множестве прямых плоскости состоит из всевозможных пар , где прямая х параллельна прямой у. Можно привести и примеры отношений, не имеющих столь важного значения: , и т.п. Важнейший класс бинарных отношений составляют функции. Операции умножения, сложения можно трактовать как отношение вида , т.е. тернарные. Так, отношение «сумма» состоит из всевозможных троек , где .
Если , то двуместное отношение называется обратным к .
Определение показывает: чтобы построить пары, составляющие отношение , необходимо переставить компоненты в парах, составляющих отношение .
Примеры.
1. Если , то .
2. Для отношения обратным будет отношение .
3. Для функционального отношения на множестве положительных чисел x , или , где , или , обратным является обратная функция , или , или .
Для бинарных отношений введем определение композиции; следует знать, что это определение является соответственным обобщением обычной композиции функций.
Если , то композицией называется отношение существует такое , что и .
Примеры.
1. Если , то .
2. В курсе алгебры студенты I курса изучают подстановки, а также, операции композиции (умножения) и обращения на множестве подстановок. Ясно, что примеры умножения подстановок и нахождения обратной подстановки иллюстрируют умножение отношений и нахождение обратных отношений.
Многие другие примеры отношений, а также, операций на них, рекомендуем посмотреть в [1], с. 39-43.
Определения. Двуместное однородное отношение на множестве называется
а) диагональю А и обозначается , если ;
б) рефлексивным на А, если ;
в) симметричным, если ;
г) транзитивным, если ;
д) антисимметричным, если .
Полезно запомнить следующие характеристические свойства классов отношений, для которых приведено определение.
Рефлексивное отношение содержит все пары вида , где . Симметричное отношение, наряду с парой обязательно содержит пару . С другой стороны, антисимметричное отношение не может содержать одновременно пары и при . Наконец, транзитивное отношение вместе с парами и содержит пару .
Как показывает практика, усвоение этих определений вызывает у студентов значительные трудности, поэтому советуем внимательно разобрать приведенные примеры.
1. Отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным на множестве , а на множестве это отношение является симметричным и транзитивным, но не рефлексивным, так как .
2. Отношение на множестве является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным, так как , ибо , но .
3. Отношение является антисимметричным, транзитивным, но не является симметричным и рефлексивным на множестве .
4. отношение перпендикулярности для прямых, лежащих в одной плоскости, является симметричным (если , то и ), но не является ни рефлексивным (не верно, что ), ни транзитивным (если и , то не верно, что ).
5. отношение равенства для чисел является одновременно рефлексивным (), симметричным (если , то и ), антисимметричным и транзитивным (если и , то ).
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Алгебра множеств | | | Эквивалентность |