Логическое следствие

Говорят, что формула логически следует из формул , и пишут , если . Из определения импликации следует, что формула не является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда при некоторых истинностных значениях переменных все посылки – истинны, а заключение – ложно. При проверке логического следования методом построения контрпримера можно сразу всем посылкам присваивать значение И, а заключению – Л. Приведем примеры проверки правильности проведения логических рассуждений.

Пример 1. Логичны ли рассуждения: «Если – простое число, то - иррациональное число. Данное число – простое, следовательно, - иррациональное число».

Обратим внимание студентов на то, что наша задача – только проверить, является ли заключение логическим следствием посылок, т.е. правильно ли использовано слово «следовательно» независимо от того, является ли заключение фактически правильным.

Пусть А – высказывание «данное число – простое», В – « - иррациональное число». Тогда посылки и заключение можно записать в виде формул: , А следовательно В. Нужно проверить, является ли тавтологией формула ?

Построим таблицу истинности

А	В
и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	и	л	и
л	л	и	л	и

Итак, , значит, рассуждения логичны.

Пример 2. Проверить логичность рассуждений:

«Если хотя бы один из двух сомножителей равен 0, то их произведение равно 0. Произведение двух данных чисел равно 0. Первый сомножитель не равен 0. Следовательно, второй сомножитель равен 0».

Пусть А – высказывание «первый сомножитель равен 0», В – «второй сомножитель равен 0», С – «произведение двух данных чисел равно 0». Запишем посылки в виде формул: , следовательно, В. Поэтому нам надо выяснить, является ли тавтологией формула .

Воспользуемся методом построения контрпримера

и? и? и и и и и и л л 10 8 3 7 1 4 6 9 8 7 2 5 6

л и 10 11

л л л 10 9 11

Итак, ложно, при А – л, В – л, С – и, так как эта формула не является тавтологией, то рассуждения не логичны.

В примере 2 заключение является фактически правильным, но не вытекает из данных посылок.

Итак, вопрос о том, какие высказывания являются следствиями других, сводится к вопросу о том, какие высказывания есть тавтологии (этим и объясняется важное значение тавтологии).

Теорема. 1. тогда и только тогда, когда .

2. тогда и только тогда, когда .

3. тогда и только тогда, когда .

4. тогда и только тогда, когда .

Теорема. 1. для .

2. для и если , то .

Последняя теорема позволяет представить доказательство того, что в виде цепочки формул, где последняя совпадает с Ф, и каждая формула из данной цепочки является либо посылкой, либо логическим следствием некоторых предыдущих формул.

Совокупность формул называется непротиворечивой, если существует такой набор логических значений для букв, от которых зависят формулы, при котором все формулы принимают значение 1. В противном случае система формул противоречива.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Для каких посылок тавтология является логическим следствием?

2. Для каких посылок тождественно ложная формула является логическим следствием?

3. Пусть среди посылок есть тождественно ложная формула. Каким может быть логическое следствие?

4. Верно ли, что ?

5. Проверить, что .

6. Пусть и Х – тавтология. Верно ли, что ?

7. Доказать, что следующие формулы являются тавтологиями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

8. Путем сведения к тавтологиям проверить логичность рассуждений, записанных в виде последовательности формул:

а) ;

б) .

9. Проверить логичность рассуждений методом «от противного»:

а) ;

б) .

10. Доказать, что если и Х – произвольная формула, то .

11. Проверить логичность рассуждений:

а) число трансцендентное тогда и только тогда, когда – иррациональное. – иррациональное число.

Следовательно, – трансцендентное число;

б) если 2 – простое число, то это наименьшее простое число. Если 2 – наименьшее простое число, то 1 не есть простое число. Число 1 не есть простое число.

Следовательно, 2 – простое число;

в) если 6 – составное число, то 12 – составное число. Если 12 - составное число, то существует простое число, большее чем 12. Если существует простое число больше 12, то существует составное число больше 12. Если 6 делится на 2, то 6 – составное число. Число 12 составное.

Следовательно, 6 – составное число.

г) для того, чтобы данное число m было кратно 117, необходимо и достаточно, чтобы m было кратно 13 и 9. m кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9. Сумма цифр числа m не делится не 9.

Следовательно, m не кратно 117.

12. Проверить непротиворечивость системы высказываний:

а) Если , то неверно, что . Неверно, что только тогда, когда . или . или .

б) или . Если , то . Если , то . Если , то . или или . Если , то неверно, что и неверно, что .

13. Построить доказательство:

а) ;

б) .

Дата добавления: 2015-11-14