Словесная формулировка задачи

В модели Марковица портфеля ценных бумаг (Markovitz, 1959) инвестор желает вложить свой капитал в три различных пакета акций таким образом, чтобы минимизировать риск инвестиций, получив в то же время прибыль не менее установленной им величины. Эта модель предполагает, что инвестор принимает во внимание только два соображения при размещении инвестиций: величину ожидаемой прибыли, которая должна быть по возможности выше, и вариацию прибыли, которая должна быть по возможности ниже (вариация измеряет отклонение реальной прибыли от ожидаемого значения и потому является мерой риска инвестиций).

Имеется три различных способа измерения риска инвестиций. В данной модели вы посмотрите, как изменяется оптимальное размещение капитала по пакетам акций в зависимости способа измерения риска.

ОСНОВАНИЯ

Имеется три пакета акций, в которые можно вложить капитал, с двенадцатью возможными сценариями ожидаемой прибыли. («Сценарий» — это набор внешних событий, влияющих на анализ: например, Китай двигается к капитализму, Китай остается коммунистическим и т.п.). Данная модель вычисляет три меры оценки риска: вариацию, полувариацию и нижнюю границу риска. Вы можете минимизировать каждую из этих величин и получить различные пропорции вложения капитала в пакеты акций, которые обеспечивают достижение поставленной цели — прибыль в 15% — каждый из способов предлагает «минимальный риск», зависящий от выбранного способа построения минимизируемой целевой функции.

Вариация — это мера флуктуация от ожидаемого значения. Однако, эта мера риска рассматривает ситуацию, при которой прибыль превышает ожидаемую на 5%, равноправной с той, при которой прибыль на 5% ниже ожидаемой. Вы же скорее всего будете озабочены только прибыль, которая меньше ожидаемой.

Методы полувариации и нижней границы риска оба рассматривают только риск прибыл, меньшей ожидаемой. Метод «нижней границы риска» минимизирует разницу между ожидаемым значением и прибылью, меньшей этого значения. Метод «полувариации» минимизирует разницу между ожидаемым значением и квадратом прибыли, меньшей ожидаемой. Таким образом, «полувариация» присваивает больший вес большим отклонением прибыли, меньшим ожидаемой.

Секция SETS в строке 3 объявляет множество из 12 сценариев (SCENE) с атрибутами PRB (Probability – вероятность), прибыль (return) R, верхнее отклонение (DVU) и нижнее отклонение (DVL) от среднего. В строке 4 создается множество инструментальных средств для пакетов акций (INST) с некоторыми присвоенными им именами и атрибутом (X), представляющим процент инвестированных средств в каждый из пакетов акций. В строке 5 определено производное множество (SXI), являющееся производным от SCTNE и INST, которое определяет процентный прирост VE (строки с 11 по 22 в секции данных DATA) для каждой пары INST и SCTNE.

ПЕРЕМЕННЫЕ

Переменными являются проценты инвестиций средств в каждый из пакетов акций X (для каждого SCENE своя величина X).

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

Вариация (VAR) вычисляется в строке 38 в виде произведения векторов вероятности (Probability) и квадрата суммы верхнего (DVU) и нижнего (DVL) отклонений.

Полувариация (SEMIVAR) вычисляется в строке 39 как произведение векторов вероятности (probability) и квадрата нижнего отклонения (DVL).

Нижняя граница риска (DNRISK) вычисляется в строке 40 как произведение векторов вероятности (PRB) и нижнего отклонения от среднего (DVL).

ОГРАНИЧЕНИЯ

В модели PRTSCEN имеется два ограничения.

Ограничение в строке 28 обязывает величину ожидаемой прибыли быть не меньше установленной цели TARGET. Ограничение в строке 40 требует, что вложены во все пакеты акций вложены все 100 процентов имеющихся капиталов.

Описанная модель приведена ниже.

PRTSCEN.LNG PORTFOLIO SCENARIO

Тип модели: нелинейная оптимизация

MODEL:

1]! Задача о портфеле акций со сценариями;

2] SETS:

3] SCENE/1..12/: PRB, R, DVU, DVL;

4] INST/ ATT, GMT, USX/: X;

5] SXI(SCENE, INST): VE;

6] ENDSETS

7]DATA:

8] TARGET = 1.15;

9]! Данные из оригинального примера Марковица;

10] VE =

11] 1.300 1.225 1.149

12] 1.103 1.290 1.260

13] 1.216 1.216 1.419

14] 0.954 0.728 0.922

15] 0.929 1.144 1.169

16] 1.056 1.107 0.965

17] 1.038 1.321 1.133

18] 1.089 1.305 1.732

19] 1.090 1.195 1.021

20] 1.083 1.390 1.131

21] 1.035 0.928 1.006

22] 1.176 1.715 1.908;

23]! Все сценарии примерно равновероятны;

24] PRB=.08333.08333.08333.08333.08333.08333

25].08333.08333.08333.08333.08333.08333;

26]ENDDATA

27]! Целевое коечное значение;

28] AVG > TARGET;

29]! Вычисли ожидаемое значение конечного состояния;

30] AVG = @SUM(SCENE: PRB * R);

31]! Вычислим значение для каждого сценария;

32] @FOR(SCENE(S):

33]! Измерение дисперсии от среднего;

34] DVU(S) - DVL(S) = R(S) - AVG;

35] R(S) = @SUM(INST(J): VE(S, J) * X(J)));

36]! Бюджет;

37] @SUM(INST: X) = 1;

38] [VAR] VAR = @SUM(SCENE: PRB * (DVU + DVL)^2);

39] [SEMIVAR] SEMIVAR = @SUM(SCENE: PRB * (DVL) ^2);

40] [DNRISK] DNRISK = @SUM(SCENE: PRB * DVL);

41]! Set objective to VAR, SEMIVAR, or DNRISK;

42] [OBJ] MIN = VAR;

END

После решения минимизированная величина вариации (строка 42) равна 0.0205.

Чтобы получить решение для «полувариации» и «нижней границы риска» отредактируйте строку 42, поместив в нее нужную функцию, подлежащую минимизации. Минимизированная полувариация равна в данной модели 0.0089. Минимизированная величина нижней границы риска равна 0.0556.

Минимизация трех способов измерения риска приводит к различным «портфелям ценных бумаг» (различным процентам инвестиций в три пакета акций):

	ATT	GMT	USX
Минимизация вариации	0.530	0.356	0.113
Минимизация полу-вариации	0.576	0.386	0.386
Минимизация нижней границы риска	0.511	0.480	0.0

Задача сетевого планирования PERT/CPM

Большинство реальных производств таково, что для выполнения всего проекта требуется выполнить определенный набор различных операций. Некоторые из этих операций могут выполняться одновременно, а некоторые для своего начала требуют завершения ряда других операций. Иногда некоторые операции могут быть «ускорены» за счет привлечения дополнительных ресурсов (времени, рабочей силы, материалов). Это называют иногда «авралами» (см. ниже PERT.LNG в этой главе). Конструкторские проекты являются хорошей иллюстрацией технологии управления проектами, известной как метод PERT/CPM (Project Management and Review Technique/ Critical Path Method). Ключевым моментов в методе PRT/CPM является вычисление кратчайшего пути, то есть определение подмножества работ, которые должны быть выполнены точно в соответствии с планом, чтобы весь проект был завершен в заданное время.

В нижеприведенной модели данного примера имеется 7 задач (операций). Следующая таблица содержит время, необходимое для их выполнения, и взаимосвязи между задачами.

Операция	Время	Предшествующие операции
FIRST		Нет
FCAST		FIRST
SURVEY		FIRST
PRICE		FCAST, SURVEY
SCHED		FCAST
COSTOUT		DCHED
FINAL		PRICE, COSTOUT

Описанная модель приведена ниже.

PERT.LNG PROJECT MANAGEMENT

Тип модели: прямая задача

MODEL:

1]! Проблема PERT/CPM;

2]!

3]! Диаграмма порядка выполнения работ:

4]! /FCAST\——SCHED———COSTOUT\

5]! / \ \

6]! FIRST \ \

7]! \ \ \

8]! \SURVEY—PRICE———————————FINAL;

9]

10] SETS:

11]! Для каждой задачи определены: Time (время), Early Start (ES) — раннее время начала работы,

12] Late Start (LS) — самый поздний срок окончания, and Slack (простой);

13] TASK/ FIRST, FCAST, SURVEY, PRICE,

14] SCHED, COSTOUT, FINAL/: TIME, ES, LS, SLACK;

15]

16]! Далее приведены отношения предшествования, первая задача в этом отношении

17] должна быть завершена до того, как вторая задача

18] сможет начать выполняться;

19] PRED(TASK, TASK)/ FIRST,FCAST, FIRST,SURVEY,

20] FCAST,PRICE, FCAST,SCHED, SURVEY,PRICE,

21] SCHED,COSTOUT, PRICE,FINAL, COSTOUT,FINAL/;

22] ENDSETS

23]

24] DATA:! здесь приведено время выполнения задач;

25] TIME = 0, 14, 3, 3, 7, 4, 10;

26] ENDDATA

27]

28]! Для первой задач самое раннее время начала= 0;

29] ES(1) = 0;

30]

31]! Вычисли самое раннее время начала для всех задач, кроме первой;

32] @FOR(TASK(J)| J #GT# 1:

33] ES(J) = @MAX(PRED(I, J): ES(I) + TIME(I)););

34]

35]! Для последней задач ее ранее время начала = самому позднему времени начала;

36] LTASK = @SIZE(TASK);

37] LS(LTASK) = ES(LTASK); SLACK(LTASK) = 0;

38]

39]! Вычислим самое позднее время начал для всех задач, кроме последней;

40] @FOR(TASK(I)| I #LT# LTASK:

41] LS(I) = @MIN(PRED(I, J): LS(J) - TIME(I));

42] SLACK(I) = LS(I) - ES(I););

END

Решение для интересующих нас переменных (ES, LS и SLACK) приведены ниже.

VARIABLE VALUE

ES(FIRST).0000000

ES(FCAST).0000000

ES(SURVEY).0000000

ES(PRICE) 14.00000

ES(SCHED) 14.00000

ES(COSTOUT) 21.00000

ES(FINAL) 25.00000

LS(FIRST).0000000

LS(FCAST).0000000

LS(SURVEY) 19.00000

LS(PRICE) 22.00000

LS(SCHED) 14.00000

LS(COSTOUT) 21.00000

LS(FINAL) 25.00000

SLACK(FIRST).0000000

SLACK(FCAST).0000000

SLACK(SURVEY) 19.00000

SLACK(PRICE) 8.000000

SLACK(SCHED).0000000

SLACK(COSTOUT).0000000

SLACK(FINAL).0000000

Поскольку ранее время начала завершающей операции (FINAL) равно 25 и время для ее выполнения равно 10, то время выполнения всего проект будет по крайней мере 35.

Критический путь (то есть набор операций, время выполнения которых не может быть увеличено без увеличения времени всего проекта) состоит из следующих операций с нулевым запасом времени:

Дата добавления: 2015-11-16