Распределение Пуассона

В LINGO имеются две функции, связанных с распределением Пуассона — @PPS и @PPL, определенных в главе 7. Предположим, что случайная величина X имеет распределение Пуассона со средним значением MU. Пусть T есть некоторое «пороговое» значение. Функция @PPS(MU,T) вычисляет вероятность того, что X£T. Функция @PPL(MU,T) вычисляет ожидание того, что X превышает T, то есть @PPL(MU,T)=E[MAX(0,X-T)], где E[] – оператор математического ожидания. Выражение представляет собой линейные ожидаемые потери.

Пример — задача о «владельце книжного магазина»

Книжный магазин желает знать, сколько экземпляров некоторой книги следует запасти к началу сезона распродажи. Служба прогноза управления запасами определила, что средний спрос на книгу будет составлять 144 штук. От каждого проданного экземпляра магазин получит прибыль $11. Каждый запасенный, но не проданный экземпляр приносит убыток магазину в $5.

Вопрос состоит в том, сколько экземпляров книги следует запасти магазину, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль?

Если мы обозначим величину дефицита цены на единицу товара от не заготовленных книг через P, а ожидаемую величину от избытка через H, то модель этого типа утверждает, что мы должны запасти именно столько книг, чтобы вероятность обладания достаточного количества их была равна P/(P+H). Для случая, когда продается одна книга за раз, вполне разумным является (при отсутствии дополнительной информации) допущение, что спрос определяется распределением Пуассона. Таким образом, мы хотим найти величину S, которая удовлетворяет уравнению:

@PPS(144,S)=11/(11+5);

где S — количество книг, которые следует запасти.

Нам хотелось бы также знать ожидаемую прибыль.

Если спрос равен X, то наша прибыль от продажа книг равна

P*X – P*MAX(0,X – S)

И наши издержки, обусловленные оставшимися книгами равны

H*(S – X)*H*MAX(0,X – S)

Объединяя эти два уравнения и ожидаемую выручку, получим ожидаемую общую прибыль

P*MU – H*(S – MU) – (P+H)*E[MAX(0,X – S)].

Реализация модель в LINGO для определения подходящего количества книг, которое следует запасти, выглядит следующим образом:

EZNEWS.LNG POISSON PROB. FUNCTIONS

Model type: Direct

MODEL:

1]! Вычисляеь точку заказа, S;

2] @PPS(MU, S) = P/ (P + H);

3]! PS есть ожидаемая прибыль при уровне запаса S;

4] PS= P * MU - H * (S -MU) - (P + H) * @PPL(MU, S);

5] DATA:

6] MU = 144;

7] P = 11;

8] H = 5;

9] ENDDATA

END

Решением является

VARIABLE VALUE

MU 144.00000

S 149.24104

P 11.000000

H 5.0000000

PS 1515.5122

Приняв предсказание о спросе на 144 книги, мы должны запасти 149 экземпляров. Ожидаемая прибыль равна $1515.51. Это вполне неплохо, учитывая, что если бы мы могли предсказать спрос абсолютно точно, наша прибыль была бы равна 144*$11.0 или $1584.00. Ожидаемые потери от несовершенства информации равны $1584.00 - $1515.51 или $68.49.

Последующие примеры все используют эту простейшую модель в качестве базовой.

Теперь предположим, что затраты на оформление заказа у оптового поставщика составляют $35.00 независимо от размера заказа. Если мы уже имеем некоторое количество книг в запасе, возможно у нас не будет капитала для следующего заказа. Вопрос теперь выглядит так: какова величина R возобновления заказа, при условии, что если уровень запаса превосходит R, то мы не имеем капитала для повторного заказа. Ожидаемая прибыль, если оставаться на уровне R, должна быть равна ожидаемой прибыли при величине запаса S за вычетом платы за размещение заказа. Необходимая нам модель приведена ниже.

MODEL:

1]! Вычисление точки заказа, S;

2]@PPS(MU, S) = P/ (P + H);

3]! PS есть ожидаемая прибыль при уровне запапса S;

4]PS= P * MU - H * (S -MU) - (P + H) * @PPL(MU, S);

5]! Следует не различать состояние запаса R

6] и возобновление запаса до уровня S;

7]PR = PS - K;

8]! PR есть ожидаемая прибыль при уровне запаса R;

9]PR= P * MU - H * (R -MU) - (P + H) * @PPL(MU, R);

10]

11]DATA:

12]MU = 144;

13]P = 11;

14]H = 5;

15]K = 35;

16]ENDDATA

END

Решением является:

VARIABLE VALUE

MU 144.00000

S 149.24104

P 11.000000

H 5.0000000

PS 1515.5122

K 35.000000

PR 1480.5122

R 137.99605

Если мы имеем 138 (подходящее значение для R) или несколько больше запасенных книг, не стоит тратить ($35.00) на следующий заказ. Однако, если в запасе меньше 138, следует повторить заказ, увеличив число книг до 149, а ожидаемая прибыль будет равна $1,515.51.

Дата добавления: 2015-11-16