Читайте также:
|
Мы проиллюстрируем использование функций на примере модели книжного продавца, рассмотренной выше. Распределение Пуассона предполагает, что стандартное отклонение равно квадратному корню из математического ожидания. Проблема заключается в том, что для данных, связанных с описанием запросов потребителей, особенно когда речь идет не о мелкой розничной торговле, когда размер заказа покупателей может быть больше 1, такое предположение может оказаться слишком оптимистичным (то есть стандартное отклонение для результирующих запросов может быть больше, чем корень квадратный из средней величины запросов).
Предположим, что стандартное уклонение для запросов потребителей из предыдущего примера равно 25, а не 12 (корню квадратному из 144). Для этого случая модель примет вид:
MODEL:
1]! Вычисляет стандартное отклонение, превышающее
2] среднее, ZS, для уровня в точке заказа S;
3] @PSN(ZS) = P/(P + H);
4]! точка заказа S удовлетворяет;
5] ZS = (S - MU)/ SIGMA;
6]! и ожидаемая прибыль при этом, PS;
7] PS = P * MU - H * (S - MU) - (P+ H) * SIGMA * @PSL(ZS);
8] PS - K = PR;
9]! PR есть ожидаемая прибыль при уровне запаса R;
10] PR = P * MU - H * (R - MU) -11]
(P + H) * SIGMA * @PSL((R - MU) / SIGMA);
12] DATA:
13] P = 11;
14] H = 5;
15] MU = 144;
16] SIGMA = 25;
17] K = 35;
18] ENDDATA
END
Решением ее является:
VARIABLE VALUE
ZS.48877654
P 11.000000
H 5.0000000
S 156.21941
MU 144.00000
SIGMA 25.000000
PS 1442.3903
K 35.000000
PR 1407.3903
R 139.27116
По сравнению с распределением Пуассона величина R для определения возобновления заказа изменилась незначительно — с 138 до 139. Однако, размер запаса возрос с 149 до 156. Как результат роста изменчивости запросов покупателей, итоговая прибыль должна уменьшиться. В данном примере это уменьшение довольно ощутимо. А именно, ожидаемая прибыль упала до $1442/39 c $1515.51.
Проницательный читатель, вероятно, уже заметил, вышеприведенная формулировка требует только прямых вычислений, поскольку предположение (введенное ранее в этой задаче) о том, что вероятность того, что запасено достаточно книг, равна P/(P+H). Поэтому модель не относится к классу связанных задач, а к классу «прямых» моделей с некоторой последовательностей уравнений, предопределяющих значения всех переменных.
Веденное правило относительно P/(P+H) может быть доказано математически (см. Winston, 1955). Тем не менее, мы можем продемонстрировать его эмпирически, заменив в строке выражение @PSN(ZS) = P/(P + H) целевой функцией MAX = PS. Если выражение P/(P + H) является истиной, то такое изменение в формулировке задачи приведет к тому же результату, что и ранее приведенная система уравнений.
Теперь LINGO не может непосредственно явным образом вычислить время обновления заказа ZS, и вместо этого вынужден вызвать решатель для определения этой величины путем оптимизации прибыли PS. Отметим, что теперь мы получили нелинейную оптимизационную задачу, поскольку уравнение в строке 7 является нелинейным по отношению к ZS, и ZS не может быть определено явно через другие переменные.
MODEL:
1]! Максимизируем ожидаемую
2] общую прибыль;
3] MAX = PS;
4]! Точка возобновления заказа S удовлетворяет;
5] ZS = (S - MU)/ SIGMA;
6]! и ожидаемая прибыль при этом, PS;
7] PS= P*MU - H*(S - MU) - (P + H)*SIGMA*@PSL(ZS);
8] PS - K = PR;
9]! PR есть ожидаемая прибыль при уровне запаса R;
10] PR = P * MU - H * (R - MU) -11]
(P + H) * SIGMA * @PSL((R - MU) / SIGMA);
12] DATA:
13] P = 11;
14] H = 5;
15] MU = 144;
16] SIGMA = 25;
17] K = 35;
18] ENDDATA
END
Теперь решением является:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1442.390279
VARIABLE VALUE
ZS.489179
P 11.000000
H 5.000000
S 156.229479
MU 144.000000
SIGMA 25.000000
PS 1442.390279
K 35.000000
PR 1407.390273
Как и ожидалось, результат фактически идентичен тому, который был получен с использованием соотношения @PSN(ZS) = P/(P + H).
Гипергеометрическое распределение
и контроль качества
Гипергеометрическое и биномиальное распределения используются для оценки выборок. Первое из них используется для выборок без замещения, в то время как второе — для выборок с замещением.
Предположим, что партия товара содержит NL элементов, из которых часть FG является дефектной. Мы производим выборку из этой партии размером NS без замещения. В терминах LINGO, вероятность того, что T элементов (или менее) из этой выборки окажутся бракованными равна
@PHG(NL, FG * NL, NS, T).
Если мы используем выборку с замещением, то предполагаем, что после выбора каждого элемента он возвращается в исходную партию товаров. В этом случае вероятность того, что T или меньше из выбранных товаров окажутся бракованными равна
@PBN(FG, NS, T)
Ниже приведенная модель использует функции @PHG и @PBN, определенные в главе 7, для количественной оценки ситуации с выборками. Распределение Пуассона аппроксимирует биномиальное распределение в случае, когда FG мало, а NS велико.
LINGO
SAMPLE.LNG PROB. OF DEFECTIVENESS
MODEL: Тип модели: прямые вычисления
1]! Из партии в 400 элементов;
2] NL = 400;
3]! мы берем выборку размером 100;
4] NS = 100;
5]! Производитель считает партию хорошей, если доля
6] доля брака равна.0075 или менее;
7] FGOOD =.0075;
8]! Потребитель считает партию плохой, если доля
9] негодной продукции.025 или более;
10] FBAD =.025;
11]! Мы принимаем партию, если выборка содержит 2 или менее;
12] NC = 2;
13]! A. Каков риск производителя;
14]! Использование (точного) гипергеометрического распределения;
15] PGOODH = 1 - @PHG(NL, NL * FGOOD, NS, NC);
16]! Использование биномиального приближения для гипергеометрического распределения;
17] PGOODB = 1 - @PBN(FGOOD, NS, NC);
18]! Использование приближения Пуассона для биномиального распределения;
19] PGOODP = 1 - @PPS(FGOOD * NS, NC);
20]! B. Каков риск потребителя;
21]! Использование гипергеометрического распределение;
22] PBADH = @PHG(NL, NL * FBAD, NS, NC);
23]! биномиального;
24] PBADB = @PBN(FBAD, NS, NC);
25]! Пуассона;
26] PBADP = @PPS(FBAD * NS, NC);
END
Решением является:
VARIABLE VALUE
NL 400.00000
NS 100.00000
NC 2.0000000
FGOOD.75000000E-02
FBAD.25000000E-01
PGOODH.15273736E-01
PGOODB.39879362E-01
PGOODP.40505424E-01
PBADH.52464387
PBADB.54219184
PBADP.54381308
В соответствии с гипергеометрическим распределением вероятность того, что хорошей окажется вся выборка равна примерно 0.15, а вероятность того, что вся она будет бракованной примерно равна 0.52.
Отметим, что и в данном приложении биномиальное и пуассоновское распределения дают фактически одинаковые вероятности. Гипергеометрическое и биномиальное распределения дают фактически одинаковые результаты, когда количество бракованных товаров будет велико (соответственно величины PBADH и PBADB). Однако они существенно различаются, когда количество брака мало (величины PGOODH и. PGOODB).
Модели массового обслуживания
Телефонная, компьютерная промышленности и индустрия связи имеют отличительную черту, используя модели массового обслуживания (модели с очередями) для оценки работоспособности системы в условиях случайного поступления требований. Наиболее часто используются следующие две модели: модель Эрланга с отказом и модель Эрланга с ожиданием. В обоих случаях потребители или заявки поступают случайным образом в систему с некоторым количеством серверов (обслуживающих автоматов). В модели с отказом очередь отсутствует, так что всякий потребитель, обнаруживший все серверы занятыми, получает отказ. В модели с ожиданием очередь допускается бесконечно большой, так что всякий потребитель, обнаруживший все серверы занятыми, ожидает (становясь в очередь), пока не освободится сервер. В любом случае, главной характеристикой, определяющей работоспособность системы, является доля потребителей, которые обнаружили все серверы занятыми.
Для вычисления этой характеристики мы должны знать «нагрузку» системы в единицу времени и количество серверов. Под «нагрузкой» понимается безразмерная величина заданий, поступающих в единицу времени. Например, если в течение часа прибывают 150 заявок и каждая требует 1 минуту для ее обслуживания, то загрузка системы равна 2.5 (количество заявок, поступивших в минуту, умножается на время, в минутах, обслуживания одной заявки).
Общепринятым предположением в обоих случаях считается, что количество поступающих в единицу времени заявок подчиняется распределению Пуассона с постоянным средним. В случае с ожиданием (с очередью) также принимается, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения. Если нагрузку от поступления заявок обозначить через AL (arriving load), а количество серверов — через NS, то доля потребителей (заявок), обнаруживших все серверы занятыми, в случае модели с отказом будет определяться выражением:
@PEL(AL, NS), а в случае модели с ожиданием @PEB(AL, NS).
Нижеприведенная модель иллюстрирует использование функции @PEL для случая, когда доля потребителей, обнаруживших все серверы занятыми, равна 0.05.
EZQUEUE.LNG ERLANG LOSS PROBABILITY
Тип модели: прямая задача
MODEL:
1]! Количество заявок (потребителей) в час;
2] AR = 25;
3]! Время обслуживания одного потребителя в минутах;
4] STM = 6;
5]! Время обслуживания одного потребителя в часах;
6] STH = STM/ 60;
7]! Доля потребителей, обнаруживших асе серверы занятыми;
8] FB =.05;
9]!Функция PEL вычисляет количество необходимых NS серверов;
10] FB = @PEL(AR * STH, NS);
END
Решением является:
VARIABLE VALUE
AR 25.000000
STM 6.0000000
STH.10000000
FB.5000000E-01
NS 5.4754850
Поскольку дробное количество серверов не имеет смысла, мы должны поставить по крайней мере 6 серверов, чтобы обеспечить поставленную цель о том, чтобы не более 5% потребителей обнаружило все серверы занятыми.
Предположим, что установили достаточное количество входных линий (достаточной длины подъездных путей в случае бензоколонок), позволяющих клиентам, обнаружившим все серверы занятыми, ожидать в очереди. Далее, будем по-прежнему использовать 6 серверов. Мы хотим найти:
1. долю потребителей, обнаруживших все серверы занятыми,
2. среднее время ожидания для потребителей, которые находятся в очереди,
3. общее время ожидания и
4. среднее количество ожидающих потребителей.
Следующий вариант модели вычисляет все эти статистические характеристики.
MODEL:
1]! Количество заявок (потребителей) в час;
2] AR = 25;
3]! Время обслуживания одного потребителя в минутах;
4] STM = 6;
5]! Время обслуживания одного потребителя в часах;
6] STH = STM/ 60;
7]! Количество серверов, NS;
8] NS = 6;
9]! Доля потребителей, обнаруживших все серверы занятыми, FB;
10] FB = @PEB(AR * STH, NS);
11]! Условное время ожидания для находящихся в очереди;
12] WAITC = 1/(NS/ STH - AR);
13]! Безусловное время ожидания;
14] WAITU = FB * WAITC;
15]! среднее количество ожидающих;
16] NWAIT = AR * WAITU;
END
Решением является:
VARIABLE VALUE
AR 25.000000
STM 6.0000000
STH.10000000
NS 6.0000000
FB.47444816E-01
WAITC.28571429E-01
WAITU.13555662E-02
NWAIT.33889154E-01
Напомним, что единица времени рана часу, так что время ожидания для тех, кто находится в очереди, равно 0.02857*60=1.7 минут.
Пример: Задача о ремонте оборудования
Третья модель массового обслуживания иллюстрирует поступление требований от конечного количества пользователей. Главное предположение, лежащее в основе последующих рассуждений, состоит в том, что если значительная часть этих пользователей уже ожидает обслуживания, то скорость поступления последующих заявок убывает до тех пор, пока большинство из пользователей не будет обслужено и возвращено в группу ожидающих пользователей. Мы называем этот класс моделей «Задачами о ремонте оборудования», поскольку группа ожидающих пользователей может рассматриваться как множество машин, которые случайным образом выходят из строя и требуют ремонта.
Функция @PFS (с распределение Пуассона) вычисляет вероятное количество пользователей, либо находящихся в ремонте, либо ожидающих ремонта, по заданному количеству всех потребителей, количеству мастеров по ремонту и предельной нагрузке очереди. Нижеприведенный пример иллюстрирует использование функции для моделирования системы распределения времени в компьютере. Каждый из портов компьютера можно представлять как потребителя. Обычно количество входных портов ограничено.
| EZMREPAR.LNG POISSON FINITE SOURCE |
Тип модели: прямая задача
MODEL:
1]! Модель распределения времени в компьютере;
2]! Среднее время выделяемого каждому пользователю (в более общем случае,
3] среднее время между отказами в ремонтируемой системе);
4] MTBF = 40;
5]! Среднее время обработки каждого запроса в компьютере
6] (в более общем случае, среднее время ремонта в секундах);
7] MTTR = 2;
8]! Количество пользователей;
9] NUSER = 32;
10]! Количество серверов/ремонтных мастеров;
11] NREPR = 1;
12]! Среднее количество ожидающих пользователей или обслуживаемых
13] (в более общем случае, среднее количество не работающего оборудования);
14] NDOWN = @PFS(MTTR * NUSER/ MTBF, NREPR, NUSER);
15]! Средняя скорость обслуживания (в более общем случае,
16] средняя интенсивность отказов), FR, должна удовлетворять;
17] FR = (NUSER - NDOWN)/ MTBF;
18]! Среднее время ожидания иди нахождения в обслуживании
19] (в более общем случае, среднее время неисправности), MTD, должно удовлетворять;
20] NDOWN = FR * MTD;
END
Решением является:
VARIABLE VALUE
MTBF 40.000000
MTTR 2.0000000
NUSER 32.000000
NREPR 1.0000000
NDOWN 12.067606
FR.49830985
MTD 24.217074
Такую систему вероятно следует рассматривать как сильно загруженную систему — в среднем 12 пользователей ожидают ответа компьютера. Каждый запрос к системе требует времени ожидания порядка 42 секунд, несмотря на то, что требуется всего две секунды на обработку запроса. Скорость обслуживания запросов составляет примерно один запрос в каждые две секунды.
Использование общих математических функций
LINGO Имеет стандартный набор математических функций, таких как логарифм, экспоненту, абсолютное значение и т.п.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 31 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Распределение Пуассона | | | Пример – Вычисление величины опциона |