Законы больших чисел

Определение 49. Говорят, что последовательность с. в. с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

(12)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. «удовлетворяет закону больших чисел».

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для независимых и одинаково распределенных с.в.

Заметим, что если с. в. одинакого распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например, ), поэтому (12) можно записать в виде

Итак, законы больших чисел.

Теорема 28 (ЗБЧ в форме Чебышёва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Доказательство. Обозначим через сумму первых n с. в., а их среднее арифметическое через . Тогда

Пусть ε > 0. Воспользуемся неравенством Чебышёва (следствие 13):

(13)

при , поскольку , по условию, конечна.

Следствие 15. Последовательность с. в. с конечными вторыми моментами удовлетворяет ЗБЧ, то есть

при выполнении любого из следующих условий:

а) если , то есть при ;

б) если независимы и , то есть

в) если независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).

Теорема 29 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом имеет место сходимость:

Более того, в условиях теоремы 29 имеет место сходимость «почти наверное». Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 30 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P (А). Пусть v_n(А) — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда

При этом для любого ε > 0

13.4 Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва

Пример 46.

Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Требуется оценить , где —число выпадений герба, а — независимые с. в., имеющие распределение Бернулли с параметром 1/2, равные «числу гербов, выпавших при i -м подбрасывании» (то есть единице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку , искомая оценка сверху выглядит так:

Иначе говоря, неравенство Чебышёва позволяет заключить, что, в среднем, не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 47.

Пусть — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С, а ковариации любых с. в. и (), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Воспользуемся неравенством (13) и свойством 12:

Но для i < j, по условию, , если . Следовательно, в сумме равны нулю все слагаемые кроме, может быть, (их ровно n -1 штука).

Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции

(по условию задачи)

при , т.е. последовательность удовлетворяет ЗБЧ.

... Из этой первой лекции по теории вероятностей я запомнил только полузнакомый термин «математическое ожидание». Незнакомец употреблял этот термин неоднократно, и каждый раз я представлял себе большое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным полом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, подбрасывая время от времени к потолку монетки и бутерброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец оглушил меня звонким термином «предельная теорема Муавра — Лапласа» и сказал, что все это к делу не относится.

Аркадий и Борис Стругацкие, Стажеры

Дата добавления: 2015-11-16