Пусть задана последовательность с. в. 
, задано некоторое распределение 
с функцией распределения 
и 
— произвольная с. в., имеющая распределение .
Определение 50. Говорят, что последовательность с. в. при 
сходится слабо или по распределению к с. в. , или говорят, что последовательность с. в. слабо сходится к распределению , или говорят, что распределения с.в. слабо сходится к распределению , и пишут:, 
или 
, или 
, если для любого х такого, что функция распределения непрерывна в точке х, имеет место сходимость 
при .
Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Свойство 15. Если , и функция распределения непрерывна в точках a и b, то 
Наоборот, если во всех точках a и b непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .
Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 16.
1. Если 
, то .
2. Если 
= const, то 
.
Доказательство. Докажем, что слабая сходимость к постоянной влечет сходимость по вероятности.
Пусть
при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции 
, то есть при всех 
.
Возьмем произвольное 
и докажем, что 
. Раскроем модуль:
(сужаем событие под знаком вероятности)
поскольку в точках 
функция 
непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательности 
к 
Осталось заметить, что 
не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах .
Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.
Свойство 17.
1. Если const и 
, то 
.
2. Если const и , то 
.
Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределения сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Раздел 14. ЦПТ (центральная предельная теорема) | | | Центральная предельная теорема |