Аналіз стійкості САР за критерієм Гурвіца

Критерій Гурвіца базується на певному записі коефіцієнтів характеристичного рівняння у вигляді визначників і формулює умови стійкості в залежності від знаків коефіцієнтів і визначників.

a₀pn+a₁p^n-1+a₂p^n-2+···+a_n-1p+a_n=0

Визначник Гурвіца складають таким чином: усі коефіцієнти характеристичного рівняння від а1 до аn розташовують за головною діагоналлю в порядку зростання індексів. Вгору від головної діагоналі, в стовпцях, записуються коефіцієнти характеристичного рівняння з послідовно зростаючими, а вниз – з убутними індексами. На місцях коефіцієнтів індекси яких більше ніж n і менше ніж нуль, проставляють нулі.

Dn=

Підставляючи коефіцієнти характеристичного рівняння у визначник Гурвіца одержимо матрицю розміром 4х4

D4=

За критерієм Гурвіца система стійка тоді і тільки тоді, коли при a>0 всі коефіцієнти aiта всі діагональні мінори визначника Dn додатні, тобто:

a₀ > 0; a₁ > 0; ¼;a_n-1 > 0; a_n > 0;

D₁ > 0; D₂ > 0; ¼; D_n-1 >0; D_n >0.

У нашому випадку а₀=135 0000>0; а₁=201 600>0; а₂=52 254>0; а₃=1,8>0; а₄=0,00375>0.

Виконаємо обчислення мінорів D₁ – D₄ за формулами:

D1=a₁;

D2=a₁a₂-a₀a₃;

D₃=a₃(a₁a₂-a₀a₃)-a₄a₁²;

D₄=(a₁a₂-a₀a₃)(a₃a₄-a₂a₅)-(a₁a₄-a₀a₅)²

Після підстановки коефіцієнтів характеристичного рівняння одержуємо наступні значення діагональних мінорів D₁=201600>0; D₂=10531976400>0;D₃=18805147920>0; D₄=71033304,7>0.

Висновок:Оскільки всі коефіцієнти характеристичного рівняння

додатні та всі діагональні мінори також додатні, то система стійка.

Дата добавления: 2015-07-11