Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

,

.

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки: если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

,

.

Правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

.

Итак, многочлены можно складывать, вычитать и умножать. При этом в результате снова получится многочлен.

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

,

где - любые числа, которые называют коэффициентами многочлена, причем , - целое неотрицательное число.

Если , то коэффициент называют старшим коэффициентом многочлена , одночлен - его старшим членом, коэффициент - свободным членом.

Если вместо переменной в многочлен подставить действительное число , то в результате получится действительное число , которое называют значением многочлена при .

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена , если .

Рассмотрим деление многочлена на многочлен , где и - натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого не меньше степени многочлена-делителя , то есть .

Разделить многочлен на многочлен , , - значит найти два таких многочлена и , чтобы

.

При этом многочлен степени называют многочленом-частным, - остатком, .

Замечание 3.2. Если делитель - не нуль-многочлен, то деление на , , всегда выполнено, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда при всех , то есть

,

говорят, что многочлен нацело делится (или делится) на многочлен .

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Дата добавления: 2015-07-10