Читайте также: |
|
В математической статистике для выяснения геометрической формы плотности вероятности случайной величины используются две числовые характеристики, связанные с центральными моментами третьего и четвертого порядков.
Определение 2.22 Коэффициентом асимметрии выборки x 1, x 2, …, x n называется число , равное отношению центрального выборочного момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения S:
.
Так как и , то коэффициент асимметрии выражается через центральные моменты следующей формулой:
Отсюда получается формула, выражающая коэффициент асимметрии через начальные моменты:
,
которая облегчает практические вычисления.
Соответствующая теоретическая характеристика вводится с помощью теоретических моментов.
Определение 2.23 Коэффициентом асимметрии случайной величины X называется число равное отношению центрального момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения :
.
Если случайная величина X имеет симметричное распределение относительно математического ожидания μ, то её теоретический коэффициент асимметрии равен 0, если же распределение вероятностей несимметрично, то коэффициент асимметрии отличен от нуля. Положительное значение коэффициента асимметрии говорит о том, что большая часть значений случайной величины расположена правее математического ожидания, то есть правая ветвь кривой плотности вероятности более удлинена, чем левая. Отрицательное значение коэффициента асимметрии говорит о том, что более длинная часть кривой расположена слева. Данное утверждение иллюстрирует следующий рисунок.
|
|
Рисунок 2.1 – Положительная и отрицательная асимметрия
распределений
Пример 2.29 Найдем выборочный коэффициент асимметрии по данным исследования стрессовых ситуаций из примера 2.28.
Пользуясь ранее вычисленными значениями центральных выборочных моментов, получим
.
Округлим = 0,07. Найденное отличное от нуля значение коэффициента асимметрии показывает скошенность распределения относительно среднего. Положительное значение говорит о том, что более длинная ветвь кривой плотности вероятности расположена справа.
■
Особенности распределения значений случайной величины вокруг её модального значения Хмод характеризует следующая постоянная.
Определение 2.24 Эксцессом выборки x 1, x 2, …, x n называется число , равное
,
где – выборочный центральный момент четвёртого порядка,
S4 – четвёртая степень стандартного отклонения S.
Теоретическое понятие эксцесса является аналогом выборочного.
Определение 2.25 Эксцессом случайной величины X называется число е, равное
,
где – теоретический центральный момент четвёртого порядка,
– четвёртая степень стандартного отклонения .
Значение эксцесса е характеризует относительную крутость вершины кривой плотности распределения вокруг точки максимума. Если эксцесс является положительным числом, то соответствующая кривая распределения имеет более острую вершину. Распределение с отрицательным эксцессом имеет сглаженную и более плоскую вершину. Следующий рисунок иллюстрирует возможные случаи.
Рисунок 2.2 – Распределения с положительным, нулевым и отрицательным значениями эксцессов
Пример 2.30 Вычислим значение выборочного эксцесса по данным исследования стрессовых ситуаций примера 2.28.
Возьмем найденные ранее значения центральных выборочных моментов
= 5,33745 и = 1,2704.
Так как = S2, то = S4. Следовательно
.
После округления = 0,31. Положительное значение эксцесса указывает на более острую вершину кривой плотности вероятности.
■
Отметим, что коэффициент асимметрии и эксцесс вместе с и стандартным отклонением S являются важными числовыми характеристиками закона распределения исследуемой величины.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 221 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Распределения | | | Процентные точки и квантили распределения |