Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрическое среднее и гармоническое среднее

Читайте также:
  1. II. Среднее ухо- auris media
  2. Выборочное среднее
  3. Геометрическое определение
  4. Геометрическое определение вероятности
  5. Итак, мы увидели, что среднее соотношение между вдохом и выдохом составляет один к двум. Сделаем еще один шаг.
  6. Общее среднее образование

Существуют определенные генеральные совокупности, для которых больше подходят другие виды средних. Рассмотрим понятия среднего геометрического и среднего гармонического.

Определение 2.6Средним геометрическим выборки x 1, x 2, …, x n с положительными значениями называется число , равное корню n-ой степени из произведения всех элементов выборки:

Пример 2.15 Рассмотрим данные о посещаемости студентами группы консультаций по высшей математике. На первой консультации присутствовало 3 студента, на второй – 6, на третьей – 12 студентов.

Итак, выборка состоит из трех значений: 3, 16, 12, n = 3. Вычислим среднее геометрическое по формуле:

Для сравнения вычислим и среднее арифметическое:

Оба эти значения = 6 и = 7, являясь достаточно близкими, характеризуют среднее число студентов, присутствующих на одной консультации. Заметим, что

.

В общем случае выборочное среднее и среднее геометрическое связаны неравенством:

.

Отметим, что формула, определяющая среднее геометрическое, не слишком удобна для расчетов. Поэтому она предпочтительно используется в другом виде:

Пример 2.16 Рассмотрим показатели доходности инвестиций финансового фонда в течение пяти последовательных лет:

3,2; 4,5; 7,4; 8,1; 10,5.

Найдем среднее геометрическое этой выборки:

Для вычислений используем логарифмическую формулу:

Значит,

.

Отсюда получаем, что = 6,14.

Мы получили среднегодовой показатель доходности инвестиций в течение данного пятилетнего периода.

 

Необходимость использования среднего геометрического возникает при исследованиях темпов изменения величин, когда результаты последующих измерений пропорционально зависят от ранее достигнутых значений. Среднее геометрическое дает более точную характеристику центра выборки и в том случае, когда она состоит из ряда достаточно отдаленных друг от друга значений.

 

Решим следующую простую задачу.

Автомобиль половину пути проехал со скоростью км/час, а вторую половину – со скоростью км/час. Какой была средняя скорость автомобиля на этом пути?

Обозначим через расстояние, равное половине пути. Тогда время, затраченное на первую половину пути равно , а на вторую – . Время всего движения составляет . Значит, средняя скорость на всем пути равна:

.

Итак, средняя скорость движения определяется выражением:

В общем случае для подобных задач существует понятие среднего гармонического.

Определение 2.7Средним гармоническим выборки x 1, x 2, …, x n называется число , которое вычисляется по формуле:

.

Другими словами, среднее гармоническое получается делением объема выборки n на сумму обратных чисел для выборочных значений.

Пример 2.17 За один час работы на компьютере первый студент набрал 2 страницы текста, второй – 3 станицы, третий – 6, четвертый – 12. Найдем среднее гармоническое числа страниц, которые может набрать на компьютере за один час студент этой группы.

Мы имеем выборку из четырех наблюдений:

2, 3, 16, 12.

Вычислим среднее гармоническое:

Следовательно, можно предполагать, что в среднем студент этой группы может набрать 3,69 станицы за один час.

Определение 2.8 Средним гармоническим вариационного ряда x 1, x 2, …, x n с соответствующими частотами называется число , которое вычисляется по формуле:

.

Пример 2.18 На решение одной задачи два студента тратят по 10 минут, 3 студента – по 20 минут, 5 студентов – по 30 минут, 4 студента – по 40 минут. Найдем среднее гармоническое времени, необходимого на решение одной задачи.

По данным задачи составим вариационный ряд.

Таблица 2.15 – Затраты времени студентов на решение задачи

Время        
       

 

Вычислим среднее гармоническое:

 

.

Итак среднее гармоническое времени, необходимого для решения одной задачи для этой группы студентов составляет 22,7 минут.

Мы видим, что = 22,7 меньше = 27,8.

 

Подчеркнем, что во всех случаях среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое удовлетворяют неравенству:

.

Понятие среднего гармонического используется при исследовании некоторых физических, химических, биологических явлений, а также в экономике.

Мы рассмотрели несколько разных понятий выборочных характеристик среднего. Поэтому применение любого из них необходимо сопровождать дополнительным пояснением.

 

 


Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 285 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Плотность распределения вероятностей | Группировка статистических данных | Алгоритм построения статистического ряда | Полученные результаты заносятся в таблицу представляющую статистический ряд. | Графическое представление статистических данных | Эмпирическая функция распределения | Упражнения | Мода и медиана | Алгоритм вычисления моды статистического ряда | Алгоритм вычисления медианы статистического ряда |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Выборочное среднее| Выборочная дисперсия и стандартное отклонение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)