Читайте также: |
|
Существуют определенные генеральные совокупности, для которых больше подходят другие виды средних. Рассмотрим понятия среднего геометрического и среднего гармонического.
Определение 2.6Средним геометрическим выборки x 1, x 2, …, x n с положительными значениями называется число , равное корню n-ой степени из произведения всех элементов выборки:
Пример 2.15 Рассмотрим данные о посещаемости студентами группы консультаций по высшей математике. На первой консультации присутствовало 3 студента, на второй – 6, на третьей – 12 студентов.
Итак, выборка состоит из трех значений: 3, 16, 12, n = 3. Вычислим среднее геометрическое по формуле:
Для сравнения вычислим и среднее арифметическое:
Оба эти значения = 6 и = 7, являясь достаточно близкими, характеризуют среднее число студентов, присутствующих на одной консультации. Заметим, что
.
■
В общем случае выборочное среднее и среднее геометрическое связаны неравенством:
.
Отметим, что формула, определяющая среднее геометрическое, не слишком удобна для расчетов. Поэтому она предпочтительно используется в другом виде:
Пример 2.16 Рассмотрим показатели доходности инвестиций финансового фонда в течение пяти последовательных лет:
3,2; 4,5; 7,4; 8,1; 10,5.
Найдем среднее геометрическое этой выборки:
Для вычислений используем логарифмическую формулу:
Значит,
.
Отсюда получаем, что = 6,14.
Мы получили среднегодовой показатель доходности инвестиций в течение данного пятилетнего периода.
■
Необходимость использования среднего геометрического возникает при исследованиях темпов изменения величин, когда результаты последующих измерений пропорционально зависят от ранее достигнутых значений. Среднее геометрическое дает более точную характеристику центра выборки и в том случае, когда она состоит из ряда достаточно отдаленных друг от друга значений.
Решим следующую простую задачу.
Автомобиль половину пути проехал со скоростью км/час, а вторую половину – со скоростью км/час. Какой была средняя скорость автомобиля на этом пути?
Обозначим через расстояние, равное половине пути. Тогда время, затраченное на первую половину пути равно , а на вторую – . Время всего движения составляет . Значит, средняя скорость на всем пути равна:
.
Итак, средняя скорость движения определяется выражением:
В общем случае для подобных задач существует понятие среднего гармонического.
Определение 2.7Средним гармоническим выборки x 1, x 2, …, x n называется число , которое вычисляется по формуле:
.
Другими словами, среднее гармоническое получается делением объема выборки n на сумму обратных чисел для выборочных значений.
Пример 2.17 За один час работы на компьютере первый студент набрал 2 страницы текста, второй – 3 станицы, третий – 6, четвертый – 12. Найдем среднее гармоническое числа страниц, которые может набрать на компьютере за один час студент этой группы.
Мы имеем выборку из четырех наблюдений:
2, 3, 16, 12.
Вычислим среднее гармоническое:
Следовательно, можно предполагать, что в среднем студент этой группы может набрать 3,69 станицы за один час.
■
Определение 2.8 Средним гармоническим вариационного ряда x 1, x 2, …, x n с соответствующими частотами называется число , которое вычисляется по формуле:
.
Пример 2.18 На решение одной задачи два студента тратят по 10 минут, 3 студента – по 20 минут, 5 студентов – по 30 минут, 4 студента – по 40 минут. Найдем среднее гармоническое времени, необходимого на решение одной задачи.
По данным задачи составим вариационный ряд.
Таблица 2.15 – Затраты времени студентов на решение задачи
Время | ||||
Вычислим среднее гармоническое:
.
Итак среднее гармоническое времени, необходимого для решения одной задачи для этой группы студентов составляет 22,7 минут.
Мы видим, что = 22,7 меньше = 27,8.
■
Подчеркнем, что во всех случаях среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое удовлетворяют неравенству:
.
Понятие среднего гармонического используется при исследовании некоторых физических, химических, биологических явлений, а также в экономике.
Мы рассмотрели несколько разных понятий выборочных характеристик среднего. Поэтому применение любого из них необходимо сопровождать дополнительным пояснением.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 285 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Выборочное среднее | | | Выборочная дисперсия и стандартное отклонение |