Теоретичний матеріал.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 2. РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи. Засвоїти основні методи знаходження коренів рівняння: метод бісекції, простої ітерації, Ньютона. Навчитись оцінювати необхідне число ітерацій для знаходження значення кореня із заданою точністю. Навчитись знаходити оптимальне значення ітераційного параметру в методі простої ітерації. Засвоїти поняття про обумовленість задачі знаходження кореня. Навчитись знаходити інтервал невизначеності кореня.

Теоретичний матеріал.

Нехай розглядається рівняння. Коренем рівняння називається значення, при якому. Корінь називається простим, якщо, у противному випадку корінь називається кратним. Ціле число m називається кратністю кореня, якщо для k=1,2, 3…,m-1 і.

Постановка задачі обчислення наближеного значення кореня з точністю e: знайти таке значення x, що.

Розв'язання задачі розбивається на два етапи: на першому етапі здійснюють локалізацію коренів, на другому етапі роблять ітераційне уточнення кореня. На етапі локалізації кореня знаходять досить вузькі відрізки (або відрізок, якщо корінь єдиний), які містять один і тільки один корінь рівняння. На другому етапі обчислюють наближене значення кореня із заданою точністю. Часто замість відрізка локалізації досить указати початкове наближення до кореня.

Метод бісекції. Нехай – відрізок локалізації. Припустимо, що функція неперервна на і на кінцях приймає значення різних знаків.

Алгоритм методу бісекції складається в побудові послідовності вкладених відрізків, на кінцях яких функція приймає значення різних знаків. Кожний наступний відрізок отримують діленням навпіл попереднього. Опишемо один крок ітерацій методу. Нехай на k-ому кроці знайдений відрізок такий, що. Знайдемо середину відрізка. Якщо, то - корінь і задача розв‘язана. Якщо ні, то з двох половин відрізка вибираємо ту, на кінцях якої функція має протилежні знаки:

,, якщо; (1)

,, якщо. (2)

Критерій закінчення ітераційного процесу: якщо довжина відрізка локалізації менше 2e, то ітерації припиняють і за значення кореня із заданою точністю приймають середину відрізка.

Теорема про збіжність методу бісекцій. Нехай функція неперервна на і на кінцях приймає значення різних знаків.Тоді метод сходиться й справедлива оцінка погрішності:

. (3)

Метод простої ітерації (метод послідовних повторень). Для застосування методу простої ітерації треба початкове рівняння перетворити до вигляду, зручного для ітерацій:. Це перетворення можна виконати різними способами. Функція називається ітераційною функцією. Розрахункова формула методу простої ітерації має вигляд:

.

Теорема про збіжність методу простої ітерації. Нехай у певному s-околі кореня функція має похідну й задовольняє нерівності, де - постійна. Тоді незалежно від вибору початкового наближення із указаного s-околу ітераційна послідовність не виходить із цього околу, метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії й справедлива оцінка погрішності:

,.

Якщо відомо, що початкове наближення має точність, тобто,то для досягнення заданої точності необхідно провести

(4)
ітерацій.

Критерій закінчення ітераційного процесу. При заданій точності e>0 обчислення слід проводити доти, поки не буде виконуватись нерівність

.

Якщо величина, то можна використовувати більш простий критерій закінчення ітерацій:

. (5)

Ключовий момент у застосуванні методу простої ітерації полягає в еквівалентному перетворенні рівняння. Спосіб, за якого виконана умова збіжності методу простої ітерації, полягає в наступному: початкове рівняння приводиться до вигляду. Припустимо додатково, що похідна є знакопостійною й на відрізку. Тоді при виборі ітераційного параметра метод збігається й значення

. (6)

Завдання 1. Методом бісекції знайти розв‘язок нелінійного рівняння на відрізку з точністю . Вибравши отриманий розв‘язок як початкове наближення, знайти рішення розв‘язок методом простої ітерації з точністю . Для методу простої ітерації обґрунтувати збіжність і оцінити достатнє для досягнення заданої точності число ітерацій.

Дата добавления: 2015-10-16