Читайте также:
|
Со схемой испытаний Бернулли связано установление важных закономерностей теории вероятностей как математической пауки, относящихся к сумме независимых случайных величин и представляющих закон больших чисел. Физическим содержанием закона больших чисел является устойчивость некоторых средних в массовых случайных явлениях. В узком смысле под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Важные теоремы, составляющие закон больших чисел, впервые были выведены для схемы испытаний Бернулли.
Теорема Чебышева. Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины при достаточно большом числе испытаний приближается к ее математическому ожиданию. На эту теорему мы ссылались в предыдущей главе.
Теорема Бернулли. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний в неизменных условиях приближается к вероятности его появления в отдельном испытании.
Теорема Пуассона. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний приближается к среднему арифметическому вероятностей его проявления в отдельных испытаниях. Теорема Пуассона нам понадобится в дальнейшем.
Центральная предельная теорема. Закон распределения суммы достаточно большого числа слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, приближается к нормальному закону распределения.
Определение понятии «испытание» и «схема испытании Бернулли»
При рассмотрении схемы испытаний Бернулли в слово «испытание» вкладывается богатый и разнообразный смысл.
Под испытанием будем понимать осуществление определенного комплекса условий, при наличии которого может наступить интересующее нас событие.
Санитарно-демографические характеристики конкретной территории формируются в результате «осуществления определенного комплекса условий», который приводит к конкретным уровням заболеваемости, смертности, детской смертности и других показателей.
Эффективность воздействия изучаемого препарата может быть определена в результате «осуществления определенного комплекса условий», которое обеспечивается исследователем при выборе соответствующего контингента, обеспечении требующихся внешних условий и планировании тактики проведения эксперимента.
То обстоятельство, что в первом случае мы фиксируем сложившуюся без нашего активного участия картину, а во втором являемся ее создателями, для нас не играет сейчас никакой роли. Для нас сейчас важно то, что как в первом, так и во втором случае мы имеем дело с «осуществлением определенного комплекса условий, при наличии которого может «наступить интересующее нас событие». При этом в первом случае мы должны проследить судьбу каждого отдельного человека (заболел или не заболел, умер или остался жить и т. д.) из состава всего контингента. Во втором случае — судьбу каждого индивидуума из состава отобранного предварительно контингента. Но в обоих случаях мы имеем дело с испытанием.
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых одно и то же испытание или аналогичные испытания повторяются неоднократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться интересующее нас событие. Но нас интересует не появление события в каждом отдельном испытании, а общее число появления событий в серии испытаний. Так, при анализе заболеваемости нас интересует не судьба отдельного человека, а общее число заболеваний на данной территории, при исследовании нового препарата — эффективность его воздействия не на каждого отдельного индивидуума, а на отобранный контингент в целом.
Уважаемый читатель! Не пробуйте использовать эти формулировки для того, чтобы опровергнуть пользу теории вероятностей в решении медицинских задач. Теория вероятностей, действительно, изучает общие закономерности в массовых случайных явлениях, тогда как врачу-клиницисту представляются одни частные случаи. Конечно, общие заключения не следует безоговорочно применять в каждом частном случае. Но начиная рассмотрение каждого частного случая, только общими закономерностями и можно руководствоваться. Теперь дадим определение рассматриваемой схемы.
Схема испытаний Бернулли — схема независимых испытаний, проводимых в неизменных условиях при наличии двух возможных исходов (успеха или неудачи).
Рассмотрим каждую характеристику схемы отдельно.
Несколько испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из испытаний не зависит от предыстории, т, е. от того, какие исходы имели предшествующие испытания. Это значит, что вероятность того или иного исхода не зависит от числа ранее появившихся интересующих нас событий. При зарегистрированной частоте рождений мальчиков, равной 0,52, будущему отцу, ожидающему наследника, вовсе нет причины горевать, узнав, что три четверти новорожденных, появившихся на свет в течение недели в том родильном доме, куда он отвез свою жену, — мальчики. Вероятность того, что у него появится наследник, не стала меньше от того, что до появления его ребенка в данном родильном доме в течение данного времени у других родителей появилось намного больше мальчиков, чем девочек. Вероятность, на которую рассчитывает этот отец, остается все той же и при оценке ее по достаточно большому числу наблюдений ошибки не будет.
Неизменность условий позволяет считать, что вероятность появления интересующего нас события во всех испытаниях остается одной и той же. Рассматривая и анализируя санитарно- демографические характеристики, мы пренебрегаем отклонениями от осредненных условий и предполагаем, что вероятность заболеть или умереть остается одной и той же для любого индивидуума, входящего в состав контингента. Планируя проведение эксперимента с целью выявления эффективности действия препарата, мы заботимся об однородном подборе контингента, иначе эксперимент будет поставлен некорректно.
Наличие двух возможных исходов — успеха и неудачи — понятие очевидное. При анализе, например, заболеваемости это условие означает, что любой индивидуум рассматриваемого контингента может только заболеть или не заболеть. Здесь судьба каждого отдельного человека на данном отрезке времени представляет собой отдельное испытание. При проведении эксперимента для оценки эффективности препарата мы фиксируем успех или неудачу, лаблюдая за состоянием отдельного индивидуума, судьба которого и составляет отдельное испытание. Обследование новорожденных с целью определения их состава предполагает также два возможных исхода.— рождение мальчика или девочки»
Пример схемы испытаний Бернулли в конкретном примере:
Рассмотрим задачу. В травматологическом отделении имеется 3 аппарата для осуществления искусственного дыхания при шоке. Больных в состоянии шока доставляют в больницу в среднем 2 раза в течение некоторого периода времени t. Вероятность отказа каждого аппарата в течение этого периода времени составляет (Pi) =0,1. Требуется найти вероятность наступления события А2, которое заключается в том, что в течение периода времени t из трех имеющихся аппаратов два будут исправны.
Обозначим через U1 U2 и U3 события, состоящие в* исправности первого, второго и третьего аппарата; через U01, U02 и U03 — противоположные события, состоящие в неисправности (отказе в течение времени t) первого, второго и третьего аппарата. По условию задачи вероятности этих событий равны между собой.
P(U1)=P(U2)=P(U3)=Pi = 0,9.
Р (U1) = Р (U2) = Р (U3) = 1—Pi = 0,1.
Интересующее нас событие может осуществиться тремя способами:
— исправны первый и второй аппараты, неисправен — третий (событие B1);
— исправны первый и третий аппараты, неисправен — второй (событие В2);
— исправны второй и третий аппараты, неисправен — первый (событие В3).
Эти три события являются несовместными, а элементарные события, их составляющие, — независимыми. В этой задаче мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Рассматриваемые события независимы (вероятность отказа каждого из аппаратов не зависит от того, что произошло с другими двумя). Условия испытаний (функционирование аппаратов в течение времени t) остаются неизменными, так как остаются неизменными вероятности отказа каждого из них. В испытании возможны только 2 исхода – отказ или безотказная работа на протяжении времени t.
И так, нам нужно определить вероятность появления какого либо из трех сложных несовместимых событий, каждое из которых заключается в совместном появлении трех элементарных зависимых событий. Искомая вероятность может быть определена по теоремам сложения вероятностей.
Р(В1) = P(U1) х P(U2) х P(U03)
Р(В2) = P(U1) х P(U02) х P(U3)
Р(В3) = P(U01) х P(U2) х P(U3)
Р(А2) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3) = Р12 х (1-Р1) + Р12 х (1-Р1) + Р12 х (1-Р1) =
= 3Р12 х (1-Р1)
Обозначим Р1 через Р, а 1- Р1 чрез q и тогда получим Р(А2) = 3Р2q
Коэффициент 3 представляет собой число способов какими можно получить интересующее нас событие. В нашем конкретном примере это число сочетаний из трех элементов по два.
Учитывая, что Р=0,9 а q=0,1, получим значение искомой вероятности:
Р(А2) = 3 х 0,92 х 0,1 = 0,243
5. Тестовые задания по теме.
1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ЭТО:
а) математическая наука, устанавливающая закономерности случайных явлений
б) наука изучающая количественные закономерности материальных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной
в) наука изучающая качественные закономерности материальных явлений в неразрывной связи с их колличественной стороной
г) наука о распределении, характеризующая отношение части одного явления к части другого явления
Правильный ответ а
2. ВЕРОЯТНОСТЬ ЭТО:
а) изменение явления во времени
б) распределение целого и части
в) характеристика развития явления в среде, непосредственно с ней несвязанной
г) это возможность реализации какого-либо события,
Правильный ответ г
3. ЭКСПЕРИМЕНТ ЭТО:
а) процесс накопления эмпирических знаний
б) процесс измерения или наблюдения за действием с целью сбора данных
в) изучение с охватом всей генеральной совокупности единиц наблюдения
г) математическое моделирование процессов реальности
Правильный ответ б
4. ПОД ИСХОДОМ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ПОНИМАЮТ:
а) неопределенный результат эксперимента
б) определенный результат эксперимента
в) динамику вероятностного процесса
г) отношение числа единиц наблюдения к генеральной совокупности
Правильный ответ б
5. ВЫБОРОЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ЭТО:
а) структура явления
б) Все возможные исходы.эксперимента
в) соотношение между двумя самостоятельными совокупностями
г) соотношение между двумя зависимыми совокупностями
Правильный ответ б
6. СОБЫТИЕ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ЭТО:
а) частоты явления в той же среде в разные периоды времени
б) всякий факт, который при реализации определенного комплекса условий произойдет неприменно
в) всякий факт, который при реализации определенного комплекса условий не может произойти
г) всякий факт, который при реализации определенного комплекса условий может произойти или не произойти
Правильный ответ г
7. ПОД ВЕРОЯТНОСТЬЮ СОБЫТИЯ ПОНИМАЕТСЯ:
а) численная мера объективной возможности появления данного события при реализации определенного комплекса условий
б) численная мера объективной возможности появления данного события не зависимо от условий
в) соотношение двух независимых совокупностей
г) соотношение между двумя зависимыми совокупностями
Правильный ответ а
8. СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО КОМПЛЕКСА УСЛОВИЙ ПРОИЗОЙДЕТ НЕПРЕМЕННО СЧИТАЕТСЯ
а) нужным
б) ожидаемым
в) достоверным
г) приоритетным
Правильный ответ в
8. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬЮ ПО ОТНОШЕНИЮ К ДОСТОВЕРНОМУ СОБЫТИЮ ЯВЛЯЕТСЯ СОБЫТИЕ
а) ненужное
б) неожиданное
в) невозможное
г) неприоритетное
Правильный ответ в
10. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ:
а) больше нули или меньше единицы;
б) может принимать любое значение
в) меньше нуля и единицы
г) представлена целыми числами
Правильный ответ а
11. СОБЫТИЯ ОБРАЗУЮТ ПОЛНУЮ ГРУППУ СОБЫТИЙ, ЕСЛИ:
а) при реализации определенного комплекса условий хотя бы одно из них появится непременно
б) при реализации определенного комплекса условий хотя бы одно из них появится в 90% экспериментов
в) при реализации определенного комплекса условий хотя бы одно из них появится в 95% экспериментов
г) при реализации определенного комплекса условий хотя бы одно из них появится в 99% экспериментов
Правильный ответ а
12. Вероятность появления какого-либо события из полной группы событий при реализации определенного комплекса условий равна:
а) 0
б) 0,95
в) 0,99
г) 1
Правильный ответ г
13. СОБЫТИЯ НАЗЫВАЮТСЯ НЕСОВМЕСТНЫМИ:
а) если 95% из них при реализации определенного комплекса условий не могут появиться совместно
б) если никакие два из них при реализации определенного комплекса условий не могут появиться совместно
в) если 99% из них при реализации определенного комплекса условий не могут появиться совместно
г) если они изучаются на маленьких выборках
Правильный ответ б
14 ЕСЛИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО КОМПЛЕКСА УСЛОВИЙ ЕСТЬ ОСНОВАНИЕ СЧИТАТЬ, ЧТО НИ ОДНО ИЗ ОЦЕНИВАЕМЫХ СОБЫТИЙ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОБЪЕКТИВНО БОЛЕЕ ВОЗМОЖНЫМ, ЧЕМ ДРУГИЕ:
а) они равноправные
б) они совместные
в) они равновозможные
г) они несовместимые
Правильный ответ в
15. СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ НАЗЫВАЕТСЯ:
а) величина, которая при реализации определенного комплекса условий может принимать различные значения
б) величина, которая при реализации определенного комплекса условий может только предсказанные значения
в) величина, которая при реализации определенного комплекса условий принимает только различные значения
г) сумма данных полученных в эксперименте
Правильный ответ а
16. ЕСЛИ НАМ ИЗВЕСТНО КОЛИЧЕСТВО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ РЕАЛИЗАЦИИ НЕКОГО СОБЫТИЯ И ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ В ВЫБОРОЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ:
а) можно рассчитать абсолютный прирост
б) можно вычислить классическую вероятность
в) можно вычислить эмпирическую вероятность
г) можно вычислить субъективную вероятность
Правильный ответ б
17. КОГДА МЫ НЕ ОБЛАДАЕМ ДОСТАТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О ПРОИСХОДЯЩЕМ И НЕ МОЖЕМ ОПРЕДЕЛИТЬ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ИНТЕРЕСУЮЩЕГО НАС СОБЫТИЯ, МЫ МОЖЕМ:
а) можно рассчитать абсолютный прирост
б) можно вычислить классическую вероятность
в) можно вычислить эмпирическую вероятность
г) можно вычислить субъективную вероятность
Правильный ответ в
18. ОСНОВЫВАЯСЬ НА ВАШИХ ЛИЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ ВЫ ОПЕРИРУЕТЕ:
а) объективной вероятностью
б) классическую вероятностью
в) эмпирической вероятностью
г) субъективной вероятностью
Правильный ответ г
19. СУММОЙ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В НАЗЫВАЕТСЯ СОБЫТИЕ:
а) состоящее в последовательном появлении или события А, или события В, исключая совместное их появление
б) состоящее в появлении или события А, или события В
в) состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе
г) состоящее в появлении события А и события В совместно
Правильный ответ в
20. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В ЯВЛЯЕТСЯ СОБЫТИЕ:
а) заключающееся в совместном появлении событий А и В
б) заключающееся в последовательном появлении событий А и В
в) состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе
г) состоящее в появлении или события А, или события В
Правильный ответ а
21. ЕСЛИ СОБЫТИЕ (А) НЕ ВЛИЯЕТ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ (В) И НАОБОРОТ ТО ИХ МОЖНО СЧИТАТЬ:
а) независимыми
б) разгруппированными
в) дистанционными
г) разнородными
Правильный ответ а
22. ЕСЛИ СОБЫТИЕ (А) ВЛИЯЕТ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ (В) И НАОБОРОТ ТО ИХ МОЖНО СЧИТАТЬ:
а) однородными
б) сгруппированными
в) одномоментными
г) зависимыми
Правильный ответ а
23. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
а) вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий
б) вероятность последовательного появления двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий
в) вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий
г) вероятность не появления двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий
Правильный ответ в
23.ЕСЛИ ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ РАВНА СУММЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЭТИХ СОБЫТИЙ БЕЗ ВЕРОЯТНОСТИ СОВМЕСТНОГО ИХ НАСТУПЛЕНИЯ ЭТО:
а) несовместимые события
б) совместимые события
в) достоверные события
г) невозможные события
Правильный ответ б
24. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СОБЫТИЙ А И В РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОГО ИЗ НИХ (А) НА УСЛОВНУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ ДРУГОГО (В), ВЫЧИСЛЕННУЮ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ПЕРВОЕ ИМЕЛО МЕСТО
а) теорема умножения вероятностей
б) теорема сложения вероятностей
в) теорема Байеса
г) теорема Бернулли
Правильный ответ а
25. ОДНО ИЗ СЛЕДСТВИЙ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:
а) Если событие А зависит от события В то и событие В зависит от события А
б) Если событие А влияет на события В то и событие В влияет на события А
в) Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А
г) Если событие А не влияет на события В то и событие В не влияет на события А
Правильный ответ в
26. ОДНО ИЗ СЛЕДСТВИЙ ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:
а) Если событие А зависит от события В то и событие В зависит от события А
б) вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
в) Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А
г) вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Правильный ответ б
27. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ ДО ПОЛУЧЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ, НАЗЫВАЮТСЯ
а) априорными
б) апостериорными
в) предварительными
г) начальными
Правильный ответ а
28. ВЕРОЯТНОСТИ, ПЕРЕСМОТРЕННЫЕ ПОСЛЕ ПОЛУЧЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ, НАЗЫВАЮТСЯ
а) априорными
б) апостериорными
в) предварительными
г) начальными
Правильный ответ б
29. УЧЕТНЫЕ ПРИЗНАКИ МОГУТ БЫТЬ
а) количественными
б) качественными
в) трудноизмеримыми
г) легко измеримыми
Правильный ответ в
30. К КАЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ ОТНОСИТСЯ
а) рост
б) пол
в) среднее значение
г) медиана
Правильный ответ б
30. К КОЛИЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ ОТНОСИТСЯ
а) рост
б) пол
в) место жительства
г) диагноз
Правильный ответ а
6. Ситуационные задачи по теме.
Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 141 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Наиболее часто нам будут встречаться дискретные случайные величины и их числовые характеристики | | | Невозможному событию приписывается вероятность, равная 0. |