Условно и абсолютно сходящиеся ряды. Перестановочное св-во абсолютно сходящихся рядовъ

Опр. U_k, U_k ϵ ℝ (ℂ) сходится абсолютно если сходится |U_k|

Утв. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Док. К. Коши(‌‌‌‌‌‌‌‌ U_k сходится ó∀ ε>0 ∃N; ∀n≥N; ∀ p | _k|<ε)

По к. Коши ∀ε>0 ∃N: ∀n>N ∀p | _k||(<ε)=‌ _k|≥‌| _k|(по нер-ву‌‌ )

Т.е. для ряда U_k Выполнен К.Коши.

Лемма: ряд _k, U_k ≥0 сходится. Тогда при ∀ перестановке членов сходимость остается и сумма не меняется.

Док-во.

_k^{’ –}перестановка _k. Проверяем ограниченность S_n^’= _k^’

∀n S_n^’= _k^’

K₀- номер U₀^’ в исходном ряде.

K₁- номер U₁^’ в исходном ряде.

,,,

K_n- номер U_n^’ в исходном ряде.

N=max{k₀,k₁,…,k_n}

S_n^’= ^’_k ≤ _k≤ _k≤S ⇒S_n^’ сходится ó сходится _k^’=S’ ⇒S^’≤S

После перестановки Сумма ряда не увеличивается. При обратной перестановке S≤S^’⇒S=S^’

Теорема: если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма ряда не меняется.

1) ∀k U_k ϵ ℝ

U_k⁺:={U_k если U_k≥0, 0 если U_k<0 } U_k^-:={-U_k если U_k<0, 0 если U_k≥0 }

∀k U_k=U_k⁺+U_k^- ∀k |U_k|≥U_k⁺≥0 |U_k|≥U_k^-≥0

Т.к. ряд |U_k| сходится то по признаку сравнения U_k⁺и U_k^- тоже сходятся.

_k= _k⁺- _k^- = _k⁺- _k^-= _k⁺-V_k^-)= _k

Где _k – переставленный ряд U_k V_k⁺ и V_k^- аналогично.

_k⁺- _k^- Сходятся по Лемме

2) ∀k U_k ϵ ℂ Пусть ∀k U_k=α_k+Iβ_k;α_k=ReU_k β_k=ImU_k

∀k: |α_k|≤|U_k| и |β_k|≤|U_k| ⇒ α_k и β_k сходятся абсолютно (признак сравнения)

Пусть после перестановки получаем V_k=p_k+iq_k

_k= _k+Iβ_k)= _k+ _k= _k +i _k= _k+iq_k)= _k

Опр. _k сходится условно если ‌|U_k| расходится а U_k сходится.

Умножение абсолютно сходящихся рядов.

Теорема: Пусть _k и _k сходятся абсолютно. {W_k} – произвольным образом занумерованные произведения U_kV_m все и по 1 разу. Тогда _k сходится абсолютно и его сумма _k= _{k k}

Доказательство: Канторов диагональный процесс:

Занумеровать произведение можно.

1) W_k Сходится абсолютно.

∀N _k ∀k W_k=U_nkV_mk

Пусть M≔ max{n1m1,n2m3, …, nNmN}

‌ матрица MxM содержатся все слагаемые W_k

_k|≤ _k| _k|≤ _k| _k| Т.е. честичные суммы ряда |W_k| ограничены ⇒ сходится W_k абсолютно. ⇒ нумерацию можно выбирать произвольно исходя из удобства.

S_n2= _{k k k}

S_m имеет предел S_m→ _{k k}

₈

_{Неравенство Абеля}

а_k монотонна ∃B ∀k |B_k|<B ∀k=1,…,n тогда: | _kb_k­|≤2B(|a₁|+2|a_n|)

доказательство: (в разработке)

Признак Абеля.

{a_n} монотонна и ограничена. А b_n сходится. Тогда сходится a_nb_n

Доказательство: M:∀n ∀n |a_n|<M

∀ε>0 ∃N; ∀n≥N ∀p | _k|≤

(Выполнено для каждой суммы ∀ l | _k|поэтому это В из нер-ва Абеля)

∀n≥N ∀p | _kb_k|≤ a_n+1|+2|a_n+p|)<ε a_n+1|<M и|a_n+p|<M)

Признак Дирихле

{a_k} монотонна и a_k→0 при k→0 и частичные суммы _k ограничены. Тогда a_kb_k сходится.

Доказательство:

Пусть B_n= _k; |B_n|≤B

| _k|=| _k - _k |≤| _k |+| _k |≤2B

∀ε >0 ∃N ∀n≥N |a_n|<

| _kb_k|≤2B a_n+1|+2|a_n+p|)<2B( ε

(Признак Лейбница- частный случай признака Дирихле)

Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. К. Коши равномерной сходимости. Необходимое условие равномерное сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

{f_n(x)} ( U_k(x)) сходится на 𝕏 Если ∀x₀ ϵ 𝕏 числовая последовательность {f(x₀)}(числовой ряд U_k(x₀)) сходится.

Поточечная сходимость

Пусть — последовательность функций вида () где — область определения, единая для всех функций семейства.

Зафиксируем точку и рассмотрим числовую последовательность вида .

Если у этой последовательности имеется (конечный) предел, то точке можно сопоставить предел этой последовательности, обозначив его :

.

Если рассмотреть всё точки множества , в которых указанный предел существует, то можно определить функцию .

Таким образом определённая функция называется поточечным пределом последовательности функций семейства на множестве :

,

а про само семейство говорят, что оно поточечно сходится к функции на множестве .

Равномерная и неравномерная сходимость:

Просто сходимость: "для каждой точки существует такой номер, что..."
Равномерная сходимость: "существует такой номер, что для каждой точки..."

Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

неравномерно равномерно

{f_n(x)} сходится не 𝕏 равномерно ó∀ε>0 ∃N=N(ε); ∀n≥N ∀p:

|f_n+p(x)-f_n(x)|<ε ∀x ϵ 𝕏;

Доказательство: ⇒) f_n(x)⇒ f(x) на 𝕏 ∀ε>0 ∃N:∀n≥N:|f_n(x)-f(x)|< ; ∀x ϵ 𝕏

∀p |f_n+p(x)-f_n(x)|=|((f_n(x)-f(x))-(f_n(x)-f(x))|≤ |((f_n(x)-f(x))|+|(f_n(x)-f(x))|≤ = ε;∀xϵ𝕩

⇐) Если взять ∀x₀ ϵ 𝕏 и зафиксировать его, то послед. {f(x₀)} фундаментальна ⇒ {f(x₀)} сходится(К. Коши). Обозначим f(x) поточечный предел {f_n(x)} f_n(x)→f(x) на 𝕏

∀ε >0 ∃N: ∀n≥N; ∀p |f_n+p(x)-f_n(x)|< ∀x ϵ 𝕏

X и n пока что зафиксированы. При p→∞ f_n+p(x)→f(x) |f(x)-f_n(x)|≤ <ε ⦆

К. Коши равномерной сходимости для ряда:

U_k(x) сходится на 𝕏 равномерно ó ∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n≥N, ∀p

| _k(x)|<ε ∀x ϵ 𝕏;

Следствие: необходимое условие равномерной сходимости ряда

Если U_k(x) сходится на 𝕏 равномерно, то U_k(x)⇒0 на 𝕏

Док-во из К. Коши при p=1.

Дата добавления: 2015-10-13