Методика изучения числовых равенст и неравенств ,числовых и буквенных выражений.

Пусть f и q-два числовых выражения.Соединим их знаком равенства.Получим предложение f=q,которое называют числовым равенством.

Возьмем например числовое выражение 3+2=6-1.Оно истинное.Если же соединить знаком равенства 3+2 и 7 7-3,то получим ложное числовое равенство 3+2=7-3.Таким образом,с логической точки зрения числовое равенство-это высказывание,истинное или ложное.

Числовое равенство истинно,если значения числовых выражений,стоящих в левой и правой частях равенства,совпадают.

Св-ва истинных числовых равенств:

1.Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то жэ числовое выражение,имеющее смысл,то получим такжэ истинное числовое равенство.

2.если обе части истинного числового равенства умножить на одно и тоже числовое выражение,имеющее смысл,то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и q- два числовых выражения.соединим их знаком > или <.получим предложение f >q,которое называют числовым неравенством.

Числовые неравества обладают рядом св-в:

1.если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и тожэ числовое выражение,имеющее смысл,то получим так жэ истинное числовое неравенство.

2.если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и тожэ числовое выражение,имеющее смысл и положительное значение,то получим такжэ истинное числовое неравенство.

3.если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и тожэ числовое выражение,имеющее смысл и отрицательное значение,а так жэ поменяем знак неравенства на противоположный,то получим такжэ истинное числовое неравенство.

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) < g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d > g(x) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) × h(x) > g(x) × h(x) равносильны на множествеХ.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x) × d > g(x) × d, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) × h(x) < g(x) × h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) × d < g(x) × d, равносильное данному.

Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, х Î R? Найти множество решений этого неравенства.

Решение. Число х = 5 является решением неравенства

2х + 7 > 10 – х, так как 2×5 + 7 > 10 – 5 – истинное числовое неравенство. А множество его решений – это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 – х Þ 3х > 3 Þ х > 1.

С помощью цифр, знаков операций и скобок можно составить различные числовые выражения. Например, 5 – 3 или (6 + 12): 3. Как правило, каждому числовому выражению соответствует числовое значение этого выражения – число, получаемое в результате последовательного выполнения операций. Про выражение, не имеющее числового значения, говорят, что оно не имеет смысла.

Если два числовых выражения соединить знаком равенства, то получим высказывание, называемое числовым равенством. Они могут быть истинными, если значения выражений в левой и правой частях равны, и ложными, если значения не равны.

Дата добавления: 2015-09-05