Анализ оптимального решения ЛП-задач

Модели оптимизации прибыли или издержек большого предприятия могут содержать очень много переменных. Поэтому попытки наугад или с помощью простого перебора вариантов изменить те или иные параметры, чтобы улучшить функционирование управляемой системы, обречены на неудачу. В этой ситуации только использование концепции теневых цен и интервалов устойчивости, выдаваемых в отчете об устойчивости оптимального решения, позволяет нащупать наиболее эффективные рычаги управления.

Получение оптимального решения оптимизационной задачи вообще и задачи линейного программирования в частности - это не конец, а фактически только начало работы менеджера с количественной моделью. При формулировке модели, как уже отмечалось, величины, количественно характеризующие ту или иную систему или управленческую ситуацию, разбиваются на две группы. Первая группа - это величины, которые субъект, принимающий решение, должен менять в ходе поиска оптимума целевой функции. Они были названы переменными решения. Нахождение оптимальных значений для переменных решения (для "неизвестных") и составляет содержание процесса "принятия решения" в данном случае. Переменные второй группы величин в ходе поиска оптимума целевой функции должны считаться постоянными. Они были названы параметрами.

Ясно, что значения параметров определяют оптимальные значения переменных и целевой функции. Некоторые параметры действительно трудно поддаются изменению. Например, параметры, характеризующие технологический процесс (в первом примере, разобранном в предыдущем разделе, это величины расхода ДСП, стекла и рабочего времени на один шкаф и одну тумбу), вряд ли могут быть изменены менеджером. Этот вопрос должен решаться специалистом-технологом. Однако изменение доступных для производства ресурсов (в упомянутом примере - запасы ДСП, стекла и рабочей силы на день) находится, разумеется, в компе­тенции менеджера производственного отдела. Вопрос об отпуск­ных ценах на продукцию цеха (а следовательно, об изменении прибыли от продажи единицы продукции каждого типа) - это так­же управленческий вопрос.

Таким образом, многие параметры модели могут (и должны) изменяться менеджером с целью поиска путей улучшения работы фирмы. Поскольку изменение параметров модели часто связаны с привлечением дополнительных финансовых ресурсов, необходимо ответить на ряд вопросов:

· какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)?

· как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса?

· если какой-либо продукт не входит в оптимальный план, а по каким-то нефор­мализуемым причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр и в каком направлении следует изменить? и т.д.

Поиск ответов на подобные вопросы и составляет существо анализа решения.

Таким образом, анализ решения должен дать менеджеру ясное представление о том, как будет изменяться решение при том или другом изменении параметров.

Когда речь идет о задаче линейного программирования, существенная информация о влиянии изменения параметров на оптимальное решение накапливается программой, собственно, в ходе поиска решения. MS-Excel представляет эту информацию в виде отчета об устойчивости. Ответ на многие вопросы может быть получен на основе анализа этого отчета. Другие вопросы могут потребовать проведения дополнительных расчетов типа "что, если…».

Для того чтобы сформировать интуитивное представление о том, как может меняться решение задачи линейного программирования при изменении параметров, полезно позна­комиться с понятием двойственности задач линейного програм­мирования.

Мы исходим из важного положения:

Существует определенный интервал устойчивости, в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению оп­тимального решения.

Разумеется, значение максимума прибыли при изменении целевого коэффициента меняется, но оптимальный план остается абсолютно тем же.

Таким образом, если значение целевого коэффициента выходит за пределы интервала устойчивости, оптимальное решение резко изменяется, переходя в совершенно другую угловую точку области допустимых планов. Предсказать, в какую именно, невозможно. Для этого нужно заново решить задачу линейного программирования с новыми параметрами.

Отчет об устойчивости

В процессе поиска оптимального решения MS-Excel формирует так называемый отчет об устойчивости, в котором, в частности, выдает интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого их изменение не приводит к изменению oптимального решения. Для получения этого отчета, после того как "Поиск решения" нашел оптимальное решение, нужно в окне "Результаты поиска решения", перед тем как нажать на кнопку Ok, щелкнуть мышкой по строке "Устойчивость" в списке "Тип отчета" (см. рис. 6). Тогда после нажатия на кнопку Ok MS-Excel создаст дополнительный лист "Отчет об устойчивости". Распечатка такого отчета для задачи об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха дана на рисунке 10.8.

Первая таблица отчета об устойчивости "Изменяемые ячейки" содержит столбцы "Целевой коэффициент", "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение". В первом из них даны исходные значения целевых коэффициентов: прибыль от продажи одного шкафа (200 у.е.) и одной тумбы (100 у.е.). Второй и третий с голбцы содержат информацию об интервале устойчивости найденного оптимального решения. При увеличении прибыли от продажи шкафа до 350 у.е. (на 150 у.е. больше исходного значения) и при се уменьшении до 100 у.е. оптимальное решение не изменя­ется. Аналогично второй целевой коэффициент может изменять­ся в пределах от 57,14 у.е. (уменьшение на 42,86 у.е. относительно исходного значения) до 200 у.е.

Смысл столбца "Нормированная стоимость" мы прокомментируем позже.

Во второй таблице отчета об устойчивости - "Ограничения" аналогичные интервалы устойчивости установлены для запасов ресурсов "ДСП", "стекло", "труд" (столбцы "Ограничения, правая часть", "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьше­ние"). Однако смысл этих интервалов несколько иной. При изме­нении запасов ресурсов оптимальное решение будет изменяться непрерывно. При движе­нии границ ресурсов координаты угловой точки, очевидно, будут непрерывно меняться, но до тех пор, пока решение будет оставаться в той же угловой точке области допустимых планов, будет оставаться неизменной так называемая теневая цена ресурса - важ нейшая характеристика оптимального решения.

Рисунок 10.8. Отчет об устойчивости MS-Excel для примера "Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха"

Для того чтобы понять, что это такое, необходимо рассмотреть так называемую двойственную задачу к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха.

Дата добавления: 2015-08-21