Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ дает общую схему проверки статистических гипотез, основанную на тщательном изучении различных источников вариации (изменчивость, неоднородности) в сложной ситуации. Он позволяет оценить влияние одного, или нескольких факторов на результирующий признак.

Рассмотрим пример, когда можно указать один фактор, влияющий на конечный результат, и этот фактор принимает конечное число значений. Такая ситуация может быть проанализирована при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

Данные для однофакторного дисперсионного анализа - это k независимых выборок из k генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ сравнивает два источника вариации: между выборками (межгрупповая вариация) и внутри каждой выборки (внутригрупповая вариация). Каждая генеральная совокупность подчиняется нормальному распределению, причем все стандартные отклонения одинаковы.

Гипотеза H₀ утверждает, что все средние равны между собой. Гипотеза H₁ говорит о том, что не все средние равны между собой, (есть хотя бы две неравные средние).

Фактор A имеет k уровней. На каждом уровне проводится выборка объемом Тогда общее число наблюдений равно: . Пусть – результат j -й выборки. Отсюда

,

Статистика подчинена распределению Фишера, поскольку это отношение дисперсий для выборки нормально распределенных случайных величин. Доверительная вероятность , . По таблице - распределения находим граничную точку . Если F> , то мы отклоняем гипотезу H₀ на уровне значимости .

Рассмотрим конкретный пример. В источнике http://www.memoid.ru/node/Razvitie_rossijskogo_rynka_kinopokaza_v_XXI_veke рассмотрены вопросы развития кинопоказа. Там сказано «В 2008 году этот процесс продолжился, и около 16 кинотеатров сменили своих владельцев. Общее число современных кинотеатров в этом году составляло 736, а количество залов в них равнялось 1864. Всего в России действовало около 430 независимых операторов, из них 12 федеральных сетей, занимающих 34,7 % рынка, 13 региональных — 19,6 % и 40 местных 13,4 %. Крупнейшим оператором по-прежнему осталась сеть «Каро фильм» — 35 кинотеатров и 166 кинозалов, второе место досталось «Синема Парку» (13 и 105), а третье получил «Киномакс» (23 и 92).»

Сначала исключим из этих данных показатели по всей РФ и получим таблицу

Таблица 1

Каро фильм
Синема Парку
Киномах

В этой таблице левый столбец содержит название фирмы, а второй и третий столбцы соответственно количество кинотеатров и количество залов

Графически это выглядит следующим образом

Рис.1 Сравнительная таблица по развитию кинопоказа в 2008 г.

Проверим гипотезу об отсутствия влияния качества развития трех фирм на величины количества кинотеатров и кинозалов. Пусть доверительная вероятность равна 95%. Будем предполагать, что выборки из независимых нормальных генеральных совокупностей с одной и той же генеральной дисперсией. .

H₀: различия между фирмами не влияют на тенденцию развития количества кинотеатров и кинозалов.

H₁: различия между фирмами влияют на развитие количества кинотеатров и кинозалов.

Заполним следующую таблицу

	Количество кинотеатров	Общее кол-во залов	сумма	nj
Каро фильм			166+35=201
Синема Парку			105+13=118
Киномах			92+23=115
Сумма	-	-

Таблица 2

Тогда = = 17575,3

= =2382.3

=15193

Статистика

По таблице F -распределения находим граничную точку

, т.к. 0,235<9,55, то принимаем гипотезу H₁, т.е. различия между фирмами влияют на развитие количества кинотеатров и кинозалов. По той же таблице можно определить, что вероятность принятия этой гипотезы равна 0,8.

---

Дата добавления: 2015-08-21