Задача 4.

Найти пределы, используя правило Лопиталя

1) 2) .

Раскрытие неопределенных выражений вида .

1)	Определим вид неопределенного выражения. Правило Лопиталя можно применять при неопределенностях вида .
	После вычисления производных неопределенное выражение сохранилось.
=	Применим правило еще раз. Неопределенность раскрыта, получен ответ.
2) =	Приведение к общему знаменателю позволяет получить неопределенное выражение, которое можно раскрывать с помощью правила Лопиталя.
= ;	Перед вычислением производных учтем, что при , и .
= . Здесь вместо повторного применения правила Лопиталя произведена замена эквивалентными бесконечно малыми величинами. Задача 5. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график . Решение.

Рассмотрим аналитическое выражение, задающее функцию: и определим следующие характеристики.

	Область допустимых значений (, ОДЗ)	Знаменатель функции обращается в нуль в точке . ОДЗ данной функции .
	Нули функции и точки пересечения с осью .	График пересечет ось ординат при значении абсциссы , , поэтому график функции проходит через начало координат: .
	Четная, нечетная, общего вида	, значит данная функция является функцией общего вида.
	Исследование точек разрыва и поведения функции на границах ОДЗ	Исследуем вид разрыва в точке . В точке имеется разрыв 2-го рода и вертикальная асимптота функции .
	Наклонные игоризонтальные асимптоты функции	, где и . ; . Данная функция имеет горизонтальную асимптоту .
	Точки возможных экстремумов - критические точки	; ; преобразованное выражение производной: . Критические точки: при и при (точка разрыва).
7	Интервалы возрастания / убывания (монотонности). Обозначения: ­ - возрастает, ¯ - убывает	Критическая точка и точка разрыва разделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки первой производной на каждом интервале.
	Экстремумы ( / )	Теперь можно сделать заключение об экстремуме функции в точке . При переходе через эту точку первая производная меняет знак, убывание функции сменяет возрастание, поэтому это точка минимума функции: . В точке не существует экстремума, так как это точка разрыва второго рода.
	Точки возможного перегиба графика функции	Найдем точки возможного перегиба графика функции: при и (точка разрыва).
10	Интервалы выпуклости / вогнутости. Обозначения: È - вогнута, Ç - выпукла	Две найденные точки разделяют интервалы выпуклости / вогнутости функции. Определим знаки второй производной на каждом интервале.
	Точки перегиба	Теперь можно сделать заключение о точке перегиба функции. При переходе через точку вторая производная меняет знак, выпуклость функции меняется на вогнутость, поэтому это точка перегиба функции: .

Построение графика функции рекомендуется начинать с построения всех асимптот и всех точек, через которые проходит график функции, которые получены в процессе исследования.

Дата добавления: 2015-08-21