Задача 4. Решите систему уравнений тремя способами:

Решите систему уравнений тремя способами:

1) по формулам Крамера;

2) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

3) методом Жордана - Гаусса.

Выполните проверку.

Решение.

1) Если определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

,

где определитель системы,

вспомогательные определители, которые получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов соответственно при столбцом свободных членов.

Определитель системы равен

.

Вычислим вспомогательные определители:

;

;

.

По формулам Крамера найдем:

2) Систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

,

где матрица системы; столбец неизвестных; столбец свободных членов.

Если матрица невырожденная, то решение системы определяется по формуле:

,

где обратная матрица.

Для данной системы

столбец неизвестных , столбец свободных членов .

Найдем обратную матрицу по формуле

,

где определитель матрицы ,

союзная матрица, которая получается из матрицы заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.

Определитель матрицы

.

Вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы по формуле

,

где минор элемента .

, , ,

, , ,

, , .

Составим союзную матрицу

.

Обратная матрица будет равна

,

.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, используя соотношение .

.

Теперь можно получить решение системы в матричном виде:

.

.

3) Метод Жордана – Гаусса (метод полного исключения неизвестных).

Пусть задана СЛАУ . Запишем ее расширенную матрицу . Каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует аналогичное преобразование уравнений в исходной СЛАУ.

Элементарные преобразования в расширенной матрице:

1) перемена местами строк;

2) перемена местами столбцов с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец;

3) умножение (деление) строки на ненулевую постоянную;

4) прибавление к любой строке линейную комбинацию других строк;

5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

6) вычеркивание нулевой строки.

Эти преобразования не меняют множество решений системы.

Если элементарными преобразованиями строк матрица переведена в матрицу , то столбец есть решением системы линейных уравнений .

Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования:

.

.

Проверка.

Подставив полученное решение в систему, убедимся в правильности полученного решения:

Дата добавления: 2015-08-21