Голоморфты функциялардың шексіз рет дифференциалдану

Теорема. f функциясы еркін облыста D ⊂C голоморфты, D-да голоморфты болатын барлық реттегі туындысы бар. Тейлор қатарының n-ші туындысы f ⁽ⁿ⁾(z) еркін нүктесінде a ∈D n-еселенген Тейлор қатарының f(z) үшін дифференциалдануы д.а.

Дәлелдеу. Тейлор қатарының f(z) үшін центрі а болатын нүктедегі U_R(a) дөңгелек жинақтылығын қарастырайық. Демек, f’ функциясы U_R(a) дөңгелегінде голоморфты,ал оның табыстаушы қатары центрі а болатын функция Тейлор қатары болып табылады. f’ үшін бұл пайымдауды қайталай келе,. f^{’’ ’}үшін дәл сондай пайымдау аламыз. Нүктенің туындылау a ∈D күшіне f функциясы D-да барлық реттегі туындысы бар болады.

Морера теоремасы Кошидің интегралдық теоремасының толық емес айналымы болып табылады және комплексті айнымалы функциялар теориясының негізгі теорияларының бірі болып табылады. Ол былай тұжырымдалады:

Егер комплексті айнымалы z функциясы D облысында үзіліссіз және интеграл одан барлық тұйық контур бойынша γ D нөлге тең,яғни

Мұндағы - Dоблысындағы аналитикалық функция.

D облысында жататын шекара бойынша алынған кез келген үшбұрыштың интергалдарын нөлге айналу талабымен шектеліп теорема шартын жеңілдетуге де болады.

Морера теоремасы қиын анықталатын кейбір функцияларды аналитикалық екенін дәлелдеу болып табылады. Егер аналитикалық функцияның реттілігі біркелкі функциясымен дәл келеді,онда

Сол себепті, Морера теоремасы бойынша шекті функция голоморфты болады. Осылайша көп функцияның голоморфтылығы дәлелденеді,мысалы Риман дзета-функциясы арқылы есептелінген:

Және Эйлердің гамма-функциясы арқылы

Морера теоремасы симметрия принципі бойынша бекітілген функцияның аналитикалық екенін дәлелдеу үшін қолданылады.

Лоран катары, оның жинақталу облысы. Сақинаның ішінде голоморфты функцияны Лоран қатарына жiктеу.

Дөңгелек ішінде аналитикалық функцияның Тейлор қатарына жіктелетінін көрдік. Көпшілік жағдайда нүктесінің өзінен басқа, ол нүктенің маңайындағы аналитикалық функцияларды қарастыруға тура келеді. Яғни, функциясы сақинада аналитикалық болсын. Осы функцияны көрсетілген облыста жіктеуде алынған қатар Лоран қатары деп аталады.

22-теорема (Лоран теоремасы). Егер функциясы сақина ішінде бірмәнді аналитикалық функция болса, онда ол осы сақинаның ішінде мына Лоран қатарына жіктеледі:

, (5)

Бұл қатарда айырманың оң дәрежелері де, теріс дәрежелері де бар.

Лоран қатарының коэфициенттері жалпы түрдекелесі формуламен анықталады:

, (6)

мұндағы сызығы нүктесін қамтитын сақинда жатқан кез келген тұйық сызық.

• Лоран қатары екі қатар қосындысы арқылы өрнектеледі. Олардың біріншісі Лоран қатарының бас юөлігі, ал екіншісі дұрыс бөлігі деп аталады.
• Лоран қатары жинақтылық сақинасында абсолют жинақты болады.
• Лоран қатары жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген тұйық сақинасында абсолют және бірқалыпты жинақты болады.
• Лоран қатарын толығымен жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген контур бойынша мүшелеп интегралдауға; жинақтылық сақинасының ішінде мүшелеп, барлық ретті туындысын алуға болады.
• Лоран қатарына жіктеу жалғыз, яғни, егер функциясы сақинасында

қатарына жіктелсе, онда коэффиценттері (6) формуламен анықталады.

Голоморфты функциялардың оңашаланған нүктелерi. Олардың Лоран қатары негізінде классификациялау. Жөнделетін оқшауланған ерекше нүкте болу критерийі. Полюс болукритериі, Сохоцкий теоремасы. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы аналитикалық функция болсын, яғни, функциясы нүктесінде не аналитикалық емес, не анықталмаған. Осындай нүктесі оңашаланған айрықша нүкте деп аталады. Егер (5) қатардың бас бөлігінің барлық коэффиценттері нөлге тең болса, онда нүктесі жөнделетінайрықша нүкте деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

23-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының жөнделетін айрықша нүктесі болуы үшін шегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырлы болса, онда оңашаланған айрықша нүктесі полюсом деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады. Осы жіктеудегі айырымының ең кіші дәрежесі болады. саны полюстің реті (немесе еселігі) деп аталады. Бірінші ретті полюс жай полюс деп аталады.

25-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының полюсі болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.

26-теорема (Сохоцкий теоремасы). Егер - функциясының елеулі айрықша нүктесі болса, онда кез келген комплекс саны үшін, қоса есептегенде, нүктесіне жинақталатын тізбегі табылып, болады.

А н ы қ т а м а. нүктесі аналитикалық функциясының оңашаланған айрықша нүктесі болса, онда

, (7)

интегралының мәнін функцияның айрықша нүктесі бойынша алынған қалындысы деп атайды.

Мұндағы - нүктесін қамтитын, одан өзге айрықша нүктелерді қамтымайтын контур.Коши теоремасы бойынша, барлық осындай контулары үшін (7) интегралдың мәні бірдей.

Аналитикалық функцияның шексіз аластатылған нүкте маңайында өзгеру тәртібі. Шексіз аластатылған жөнделетін оқшауланған, полюс, айрықша оқшауланған нүкте болуы.

Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының бір элементіне сәйкес келетін ережені функция деп атаймыз. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы аналитикалық функция болсын, яғни, функциясы нүктесінде не аналитикалық емес, не анықталмаған. Осындай нүктесі оңашаланған айрықша нүкте деп аталады. Егер (5) қатардың бас бөлігінің барлық коэффиценттері нөлге тең болса, онда нүктесі жөнделетінайрықша нүкте деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

23-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының жөнделетін айрықша нүктесі болуы үшін шегінің бар болуы қажетті және жеткілікті. Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырлы болса, онда оңашаланған айрықша нүктесі полюсом деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

Осы жіктеудегі айырымының ең кіші дәрежесі болады. саны полюстің реті (немесе еселігі) деп аталады. Бірінші ретті полюс жай полюс деп аталады.

24-теорема. нүктесі функциясының -шы ретті полюсі болуы үшін ол нүктенің функциясының -шы ретті нөлі болуы қажетті және жеткілікті.

25-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының полюсі болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырсыз (шексіз) болса, онда елеулі айрықша нүкте деп аталады. Функцияның елеулі айырықша нүкте аймағындағы айтарлықтай толық сипаттамасын Сохоцкий теоремасы баяндайды.

26-теорема (Сохоцкий теоремасы). Егер - функциясының елеулі айрықша нүктесі болса, онда кез келген комплекс саны үшін, қоса есептегенде, нүктесіне жинақталатын тізбегі табылып, болады.

А н ы қ т а м а. нүктесі аналитикалық функциясының оңашаланған айрықша нүктесі болса, онда

, (7)

интегралының мәнін функцияның айрықша нү итктесі бойынша алынған қалындысы деп атайды.Мұндағы - нүктесін қамтитын, одан өзге айрықша нүктелерді қамтымайтын контур.Коши теоремасы бойынша, барлық осындай контулары үшін (7) интегралдың мәні бірдей.

30.Қалындылар. Қалындыны жай полюсте, ақырлы ерекше нүктелерде, еселі полюсте есептеу.

Қалындылар туралы негізгі теорема. Меншіксіз интегралдарды қалындар көмегімен есептеу.

27-теорема (қалындылар туралы теорема). Егер функциясының контурының ішінде оңашаланған айрықша нүктелері болса, онда теңдігі орындалады.

28-теорема. Бірмәнді оңашаланған айрықша нүктесіндегі қалынды функциясының дегі Лоран қатарының коэффицентіне тең, яғни

.

29-теорема. - функциясының жай полюсі болсын. және . Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

30-теорема. - функциясының ретті полюсі болсын. Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

А н ы қ т а м а. функциясының нүктедегі қалындысы деп Лоран қатарындағы бірінші теріс дәреженің қарама-қарсы таңбамен алынған коэффицентін атайды, яғни .

Дата добавления: 2015-09-03