Жуықтас бөлшектер

Егер үздіксіз бөлшектің басынан санап бірнеше жасағыштарын бөліп алып, олардың маңызын кәдімгі бөлшек мәніне аударсақ, жасалатын бөлшекті жуықтас бөлшек дейді.

Мысалы,

(1)

түріндегі үздіксіз бөлшектің (1) жуықтас бөлшегі

(2)

(2) жуықтас бөлшегі

(3)

сандарының шамасында болар еді. Сол сияқты (3) жуықтас бөлшегі

(4)

Және (4) жуықтас бөлшегі

(5)

түрінде болып, (5) жуықтас бөлшегі берілген үздіксіз бөлшектің өз маңызымен тең болады.

Ол

Енді жуықтас бөлшектердің жасалу ережесін қарастыралық.

Бізге () мағыналы үздіксіз бөлшек берілсін. Оның бірінші жуықтас бөлшегі түрінде болмақшы. Екінші жуықтас бөлшегі , үшінші жуықтас бөлшегі

болатынын көрдік.

Енді алдымыздағы үшінші жуықтас бөлшекті бірінші және екінші жуықтас бөлшектермен салыстырсақ, үшінші бөлшектің алымының шамасы екінші жуықтастың алымын ді) оған тиісті еселікке ( ге) өсіріп, өсіріндіге бірінші бөлшектің алымын қосқанда табылатындығын көрер едік. Үшінші бөлшектің бөлгіші де сол сияқты екінші бөлшектің бөлгішін ( ді) тиісті еселікке ( ге) өсіріп, өсіріндіге бірінші бөлшектің бөлгішін қосумен табылып отыр.

Бұл жолдың барлық жуықтас бөлшектердің түгел жасалуына ықпалды екендігін көрсетелік. Бұл үшін төмендегі түйіндерді шешіп алалық.

Теорема3. ші орында тұратын жуықтас бөлшектің жарнағын табу үшін оның алдындағы ші жуықтас бөлшектің жарнағын тиісті еселікке ға) өсіріп, өсіріндіге - ші орында тұрған бөлшектің жарнағын қосуға керек. ші жуықтас бөлшектің бөлгішін де сол сияқты ші жуықтас бөлшектің бөлгішін тиісті еселік ға өсіріп, өсіріндіге - ші бөлшектің бөлгішін қосуға керек.

Дәлел. Бізге

(2.1)

мағыналы үздіксіз бөлшек берілсін.

Оның жуықтас бөлшектері

(2.2)

түрінде болсын және де ол бөлшектерде

(2.3)

(2.4)

теңдіктері орынды болып, алдымыздағы ереже жуықтас бөлшегінің жасалуына ықпалды болсын делік. Онда,

(2.5)

Өрнегі орынды болмақшы. Енді біз бұл уақытта

(2.6)

теңдігі де орынды екенін көрсетсек теорема ашылғаны. жуықтас бөлшегінің маңызы шынында

(2.7)

және бөлшегінің маңызы

түрінде болатындығы белгілі. Егер де біз ші жуықтас бөлшегі дің орнына біз қосындысын қойсақ, ші жуықтас бөлшектің тең маңызы шығатындығын көреміз.

Олай болса, (2.6)-шы теңдікті

(2.7)

соңғы (2.7)-ші өрнектегі қоршауларды ашалық

(2.8)

соңғы (2.8) – ші өрнекте оң бөлімдегі бөлшектің екі мүшесін де ге өсірсек

(2.9)

өрнегі жасалмақ. Ақыры енді (2.5)-ші теңдіктің шартын еске алсақ,(2.9)-шы өрнегіміз

(2.10)

түріне келеді.

Соңғы теңдік (2.6)-шы теңдікпен дәл бірдей. Сондықтан түйін шарты ші жуықтас бөлшекке ықпалды болатындығын көзіміз жетеді,яғни теорема дәлелденді.

Әлгіде біз бұл жол үшінші жуықтас бөлшекке ықпалды екендігін біліп едік. Олай болса, соңғы түйін арқылы ол жол төртінші жуықтас бөлшекке де ықпалды екен. Төртінші бөлшекке ықпалды болса, бесіншіге де ықпалды болады екен және сол сияқты

Түріндегі үздіксіз бөлшегінің бірінші жуықтас бөлшегі 3, екінші жуықтас бөлшегі үшінші жуықтас бөлшегі төртінші жуықтас бөлшегі бесінші жуықтас бөлшегі шамаларында болуына керек. Алтыншы жуықтас бөлшегі берілген үздіксіз бөлшектің шамасымен тең.

Жуықтас бөлшектерді келесі түрмен есептеу оңай:

Мұнда жоғарғы сандар берілген үздіксіз бөлшектің еселіктері, астыңғы екі торда жуықтас бөлшектердің жарнағы мен бөлгіштері көрсетіліп отыр. Бұл арадан алғашқы екі жуықтас бөлшектерді тура 3 пен түрінде тауып, қалған жуықтас бөлшектерді алдыңғы ашылған тәсіл бойынша таппақшымыз.

Теорема4. Үздіксіз ақырлы бөлшектің шын шамасы қатар тұрған екі жуықтас бөлшектердің шамасы аралығында болып, алдыңғы бөлшектен гөрі артқы жуықтас бөлшектің маңызына таяу болады.

Дәлел. Бізге шамасы болған ) мәнді үздіксіз және ақырлы бөлшек берілсін. Онда

(2.11)

шарты орындалмақшы. Енді үздіксіз бөлшектің жуықтас және қатар тұрған үш жасағыштарын алалық. Олар мысалы:

(2.12)

мәнді екен. Алдыңғы ашылған түйін бойынша

(2.13)

теңдігі орынды болмақ. Егер де (2.13)-ші теңдіктің оң бөліміне ның орнына (2.14)

өрнегін қойсақ, онда үздіксіз бөлшектің шын мәні жасалар еді. Олай болса,

(2.15)

теңдігі орындалады.

(2.15)-ші теңдік бойынша

(2.16)

өрнегі шығады. Біздің жобамызша және сандары дұрыс болғандықтан (2.16)-шы теңдіктің жақша ішінде екі айырмалары не бірдей оң, не бірдей теріс болуы керек. Онда егер екі айырма да оң болса:

онда (2.17)

2) екі айырма да теріс болса:

онда (2.18)

өрнектеріне келер едік.

(2.17)- ші және (2.18)-ші теңдіктерде де -дің маңызы қатар тұрған және мәнді екі жуықтас бөлшектің аралығында болатындығы көрінді. Және де (2.16)-шы теңдікте шарты орындалып, болғандығынан айырмасының мәні

() айырмасынан кем екендігі білінеді. Мұнан

(2.19)

теңсіздігі шығады. (2.19)- шы теңсіздік -дің шамасы - ден гөрі бөлшегіне таяу екендігін көрсетеді. Сондықтан теорема дәлелденді.

Ескерту: ) бөлшегінің шын мәні болса, ол сан дан, яки ден артық болатындығы айқын. (2.17)- ші және (2.18)-ші теңсіздіктер арқылы болған күнде теңсіздігі де шарт болмақ. Сонымен ақыры

, , ...

теңсіздіктері орындалады.

Олай болса, үздіксіз бөлшектің шын мәні әр жұп орындағы жуықтас бөлшектерден көбірек, әрбір тақ орындағы жуықтас бөлшектерден кемірек болатындығы көрінеді.

Теорема5. Қатар тұрған екі жуықтас бөлшектердің өзара айырмасы бөлшек сан болады. Ол бөлшектің алымы “+” не “-” белгімен алынған 1 – мен тең болып, бөлгіші берілген жуықтас бөлшектердің бөлгіштерінің өзара өсіріндісімен тең болады.

Дәлел. Бізге қатар тұрған және түріндегі екі жуықтас бөлшек берілсін. Онда

(2.20)

болғандықтан олардың айырмасындағы бөлгіш түйін шартына үйлесіп тұр. Енді олардың айырмасының алымының шамасы болғандығын көрсетсек, теореманың дәлелденгені бірінші теңдеуде.

және

өрнектерінің орындылығы мәлім. Олай болса,

(2.21)

екендігі орынды болып отырып, ақыры (2.21) - ші теңдік жасалмақ. (2.21) – ші теңдікте жақша ішінде тұрған өрнек бөлшегінен бөлшегін алғанда жасалатын айырманың алымымен тең болып отыр. Олай болса - ден -ді алғандағы айырманың алымы -пен -ді алғандағы қалатын айырма алымымен үнемі тең болып отыратындығы көрініп отыр. Сондықтан екі қатар жуықтас бөлшекті бірінен бірін алғандағы шығатын айырманың алымы қашан болсын -мен тең болып отыратындығы ұсталады. Ал енді алғашқы екі жуықтас бөлшектің айырмасына қарасақ, ол

өрнегімен тең болып отыр. Мұндағы айырманың жарнағы бір екен. Теорема дәлелденді.

Мысалы, 283-гі көрсетілген жуықтас бөлшектің айырмалары:

;

т.с.с. шамаларымен тең болып, отырар еді.

Қорытынды: Әрбір жуықтас бөлшектің жарнағы мен белгілі өзара жабайы сандар болуға керек екен, өйткені бұл шарт орындалмай, мысалы, - бөлшегінң мүшелері өзара мәнді өсіргішке ие болса, онда айырмасы да сол ге тұтас бөлінер еді. Анығында ол мүмкін емес, өйткені соңғы айырма -ге тең екендігі мәлім нәрсе.

Теорема6. Егер үздіксіз бөлшектің шын шамасының орнына - мәнді жуықтас бөлшектің шамасын алсақ, ондағы пайда болатын қателік

бөлшектерінің шамасынан гөрі кем болады, өйткені егер де здіксіз бөлшектің шын маңызын десек айырмасы айрмасынан гөрі кемірек болатындығы белгілі. Соңғы айырманың шын шамасы алдыңғы алдыңғы дәлелденген 5-теорема бойынша -мен тең еді. Сондықтан

(2.22)

өрнегінің орынды екендігі дәлелденеді. Енді мұның үстіне

(2.23)

теңдігінің орыны екендігін еске алсақ шарты бойынша

(2.24)

теңсіздігі жасалмақшы. Олай болса,

яки

теңсіздігі орынды болғаны. Сондықтан (2.22) шарт бойынша

(2.25)

өрнегіне тірелмекпіз. Ақыры > өрнегін еске алсақ

теңсіздігі дұрыс болмақ. Сондықтан

(2.26)

теңсіздігі орындалып, қорытып келгенде

(2.27)

өрнегіне тірелмекшіміз.

(2.22), (2.25), (2.27) түріндегі үш қате шегінің ең кішісі: бөлшегі. Бірақ оны есептеу үшін - бөлшегінің алдындағы қатар тұрған жуықтас бөлшектің бөлгішін білу керек.

Егер де - бөлшегінің алдындағы және артындағы жуықтас бөлшектердің ешбірі белгісіз болса, онда - дің орнына - түріндегі жуықтас бөлшектің шамасын қолданардағы істеген қатеміздің шегі бөлшегінен гөрі кем болатынын аңғаруға болады.

Мысалы, үздіксіз бөлшектің бір жуықтас бөлшегі болса, үздіксіз бөлшектің орнына шамасын қолдансақ, істеген қатеміздің шамасы ден гөрі кем болар еді. Егер де -тің алдындағы жуықтас бөлшегінің бөлгіші 3 екендігі мәлім болса, онда ізделген - дің орнына маңызын алғандағы қатеміз ден гөрі кем екендігін білер едік. Ал егер де бөлшегінен кейінгі жуықтасының 31 екені мәлім болса, істейтін қатеміздің маңызы ден кем екендігін шамаламақпыз.

Дата добавления: 2015-09-03