Конспекты лекций 6 страница

Подбор эмпирической формулы по данным наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Даже в том случае, когда в нашем распоряжении имеются точные значения аргумента и функции, восстановить функцию по конечному числу ее значений - задача математически неразрешимая. Тем более не следует ожидать, что это удастся сделать исходя из экспериментальных данных, которые наверняка содержат случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.

Во многих случаях характер зависимости между переменными величинами предполагается известным из каких-либо теоретических соображений и задача подбора эмпирической формулы сводится к тому, чтобы определить числовые значения параметров, входящих в формулу данного вида.

Один из способов подбора эмпирических формул состоит в том, что поданным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом пользуются принципом наименьших квадратов. Он основан на том, что из данного множества формул вида наилучшим образом изображающей данные значения считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных является наименьшей.

Подбор параметров функции , основанный на этом принципе, называют способом наименьших квадратов.

Необходимо помнить, что способ наименьших квадратов применяется для подбора параметров после того, как вид функции определен. Если из теоретических соображений нельзя сделать никаких выводов о том, какой должна быть эмпирическая формула, то приходится руководствоваться наглядным представлениями, прежде всего графическим изображением наблюденных данных. Вид функции выбирается таким образом, чтобы график этой функции по возможности близко напоминал расположение на графике данных наблюдения.

Пусть в результате эксперимента получены значений функции при соответствующих значениях : При выбранном виде функции остается подобрать входящие в нее параметры так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных являлась наименьшей. Составим функцию и подберем параметры так, чтобы сумма имела наименьшее значение. Таким образом, получилась задача нахождения минимума функции нескольких переменных . Сумма принимает минимальное значение при тех значениях параметров , при которых обращаются в нуль частные производные этой функции по каждой переменной, т.е. когда

Пример. Пусть . Составим функцию Находим частные производные

Приравнивая каждую частную производную нулю, получаем систему двух линейных уравнений относительно

Из характера задачи следует, что система имеет определенное

решение и что при полученных значениях функция имеет минимум. Нетрудно доказать это и на основании достаточных условий. Действительно,

Следовательно,

24. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задача нахождения экстремума часто рассматривается применительно к исследованию квадратичной функции Используя матричные обозначения, функцию можно записать в виде . Вычислим частные производные первого порядка для функции : Пользуясь симметрией матрицы А, получим формулу Таким образом, для нахождения стационарной точки, необходимо решить систему линейных уравнений , . Найдем частные производные второго порядка (элементы матрицы Гессе ): . Это означает, что для квадратичной функции матрица Гессе не зависит от и равна матрице А квадратичной формы соответствующей квадратичной функции. Для определения характера экстремума в точке с помощью достаточных условий, исследуем вопрос о положительной или отрицательной определенности матрицы .

Задание: Найти и определить вид стационарных точек приведенных ниже функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Указания. 1. Для нахождения стационарной точки функции составить и решить систему уравнений

2. Составить матрицу из вторых частных производных функции (матрицу Гессе ). Матрица совпадает с матрицей соответствующей квадратичной формы исходной квадратичной функции , .

3. Вычислить угловые миноры матрицы

.

4. Сделать вывод о характере стационарной точки: если все угловые миноры матрицы положительны, то - точка локального минимума, если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то - точка локального максимума.

Форма отчетности: составить программу нахождения экстремума квадратичной функции. Найти экстремумы функций соответствующего варианта.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное

исчисления. М.: Наука. Т.1, 1985.432 с.

2.Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики М.: Высш. Шк.,1986.480 с.

3.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная

алгебра и основы математического анализа. Под ред.

А.В. Ефимова, Б.П.Демидовича.М.:Наука.1993.480 с.

4.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. М.: Высш. Шк., 1988. 288с.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.

Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994.544 с.

Оглавление

Введение…………………………………………………………. 3

1. Основные определения…..……………………………..4

2. Линии и поверхности уровня………………………… 7

3. Частное и полное приращение функции……………… 7

4. Предел и непрерывность функции нескольких

переменных……………………………………………………… 8

5. Частные производные функции нескольких

переменных………………………………………………………13

6. Геометрический смысл частных производных ………15

7. Дифференциальные операции первого порядка в

скалярных и векторных полях……..………………..………….16

8. Полный дифференциал функции нескольких

переменных……………………………………………………....20

9. Применение полного дифференциала к

приближенным вычислениям……………………….……….…23

10.Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности ………….. 23

11. Производные сложных функций…………………... 26

12. Дифференциал сложной функции…………………...27

13. Производные функций, заданных неявно...……… 28

14. Частные производные различных порядков………...29

15. Дифференциалы высших порядков……………..…. 31

16. Формула Тейлора для функции двух переменных... 34

17. Экстремум функции двух переменных…………….. 37

18. Необходимые условия экстремума функции

переменных ……………………………………………………...41

19. Некоторые сведения о квадратичных формах…..… 43

20. Достаточные условия локального экстремума……. 44

21. Условный экстремум…………..……………………. 47

22. Наибольшее и наименьшее значения функции……. 53

23. Метод наименьших квадратов………….………….. 55

24. Лабораторная работа. Тема: исследование на

экстремум функции нескольких переменных…………..……. 58

Учебное издание

Глушко Елена Георгиевна

Провоторова Елена Николаевна

Дата добавления: 2015-08-13