Конспекты лекций 1 страница

Учебное пособие

Воронеж 2001

УДК 517.9

Глушко Е.Г. Функции нескольких переменных. Конспекты лекций. / Е.Г. Глушко, Е.Н. Провоторова. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2001. 63 с.

Содержатся основные теоретические сведения по дифференциальному исчислению функций нескольких переменных, изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров и задач, приводятся задачи и упражнения для самостоятельной работы.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами раздела «Функции нескольких переменных» по курсу математического анализа.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2000 и содержится в файле «FNP.rar.».

Ил. 5. Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: кафедра прикладной математики и

экономико-математических методов

Воронежской государственной

технологической академии;

канд. физ.-мат. наук Н.М. Близняков

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

ãГлушко Е.Г., Провоторова Е.Н., 2001.

ãОформление. Издательство

Воронежского государственного

технического университета, 2001.

ВВЕДЕНИЕ

Многие вопросы естествознания приводят к рассмотрению такой зависимости между несколькими переменными величинами, при которой значение одной из этих переменных величин полностью определяется значениями остальных переменных.

Так, например, при рассмотрении каких-либо физических характеристик тела (плотности или температуры) нам приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами , то рассматриваемые характеристики определяются значениями трех переменных.

При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных: трех координат точки и времени .

Для изучения такого рода зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций методами дифференциального исчисления. На случай функции нескольких переменных распространяются многие понятия и утверждения, справедливые для функции одной переменной.

Понятия из раздела функции нескольких переменных необходимы для изучения кратных и криволинейных интегралов, систем дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного и операционного исчисления, многомерных случайных величин в теории вероятностей и т.д.

Из-за малого количества часов, отводимых на функции нескольких переменных в общем курсе высшей математики, часть материала было бы удобно предоставить студентам для самостоятельного изучения. Данная работа, по мнению авторов, служит этой цели. Пособие состоит из 24 параграфов и охватывает все темы дифференциального исчисления функций нескольких переменных, предусмотренные программой курса. Материал каждого параграфа содержит основные понятия и теоремы с доказательством. Как правило, теорема, доказанная для функций двух независимых переменных, может быть распространена на функции трех и большего числа переменных без существенного изменения хода рассуждения. Поэтому в дальнейшем изложение ограничивается рассмотрением функций двух переменных, а функции большего числа переменных обсуждаются лишь в тех случаях, когда существо вопроса требует для них особого исследования.

Во всех параграфах содержатся примеры решения задач, в них разобраны в основном стандартные примеры, демонстрирующие применение тех или иных формул и теорем Приводятся задачи и упражнения для самостоятельной работы. Количество упражнений ограничивается определенным минимумом, достаточным для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. Многие задачи снабжены ответами.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.

Пример. Решая уравнение сферы относительно при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

Определение. Если каждой паре значений двух независимых переменных величин и из некоторой области их изменения соответствует определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определенная в области и

обозначают .

Функцию двух переменных можно задать аналитически или таблично.

Определение. Совокупность пар значений и , при которых определена функция называется областью определения или областью существования функции.

Пример. Найти и вычертить область определения функции:

1)

Решение. Функция

определена при и . При получаем

.

Такому двойному неравенству

удовлетворяют координаты точек плоскости, лежащие ниже прямой и выше прямой при При получаем неравенство , справедливое для точек плоскости, лежащих выше прямой и ниже прямой .

2)

Решение. Функция определена при

или

Таким образом, область определения функции двух переменных это совокупность точек плоскости или части плоскости, ограниченные линиями.

Линию, ограничивающую данную область будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такая константа С, что расстояние любой точки области от начала координат меньше С, то есть

Геометрическим изображением (графиком) функции

двух переменных является поверхность в

пространстве .

Пример. Графиком функции является параболоид вращения.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех и более переменных.

Определение. Если каждой

рассматриваемой совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной , то называют функцией независимых переменных и пишут

Геометрическое изображение функции трех и большего числа переменных не имеют простого геометрического

смысла.

2.ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение.

Определение. Линией уровня функции называется множество всех точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение:

Пример. Для функции линиями уровня является семейство концентрических окружностей с центром в точке .

Определение. Поверхностьюуровня функции называется множество всех точек пространства , для которых данная функция имеет одно и то же значение.

Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или с одинаковым средним суточным давлением, получим соответственно изотермы и изобары, важные для прогноза погоды.

3. ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть - функция двух независимых переменных и . Дадим переменной приращение , оставляя

переменную неизменной, тогда разность

называется частным приращением функции по переменной .

Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а получает приращение , функция получает приращение, называемое частным приращением функции по переменной : .

Если обе переменные и получили соответственно приращения и , тогда соответствующее приращение функции:

называется полным приращением функции .

Заметим, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции .

4.ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Окрестностью радиуса точки называется совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть точки, лежащие внутри круга радиуса , с центром в точке

Пусть дана функция , определенная в некоторой точке плоскости . Пусть точка лежит в области или на ее границе.

Определение. Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для

всех точек из окрестности радиуса точки

выполняется неравенство

Если число является пределом функции при стремлении точки к точке , то пишут

Заметим, что предел функции двух переменных не должен зависеть от того, по какой линии точка стремится к точке .

Примеры.

1.Вычислить предел Решение. Представим

функцию в виде Так как

при , то

Далее, Поэтому искомый предел равен

2.Вычислить Решение. Перейдем к полярным координатам Центр полярной системы находится в точке , полярная ось параллельна . При стремлении полярный радиус В нашем примере , поэтому

Тогда

3. Существует ли предел ? Решение. Пусть точка стремится к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует.

4. Вычислить предел Решение. Перейдем к полярной системе координат

Так как значение предела зависит от , то при подходе к точке (0,0) по разным направлениям получаются различные предельные значения. Следовательно, функция в этой точке не имеет предела.

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислить пределы:

а) б) в) ;

г) д) е)

ж) з)

Ответ:. а) ; б)2; в) ; г) 0; д) 0; е)0; ж)0; з)1.

2. Докажите, что следующие пределы не существуют:

а) б) в)

Определение. Пусть точка принадлежит области определения функции . Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Из определения следует, что для непрерывности функции в точке должны быть выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке ;

2) существует предел ;

3) предел равен значению функции в точке .

Если в некоторой точке не выполняется хотя бы одно из

условий (1-3), то точка называется точкой разрыва функции .

Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке:

Определение. Функция называется непрерывной в точ ке , если:

1)функция определена в этой точке;

2)бесконечно малым приращениям соответствует бесконечно малое приращение

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке

некоторой области, называется непрерывной в области.

Примеры.

1) Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции

,

следовательно, . Функция непрерывна.

2) Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, где

знаменатель дроби равен нулю: , то есть функция не определена на прямой В остальных точках плоскости функция определена и непрерывна. Множество точек разрыва данной функции есть прямая Отметим, что в любой точке , лежащей на прямой и не совпадающей с точкой (т.е. ), существует предел функции Поэтому точки при можно назвать точками устранимого разрыва: если положить , то функция станет непрерывной в точке . В точке имеем

,

то есть - точка неустранимого разрыва данной функции.

3) Исследовать на непрерывность в точке функцию

Решение. Применяя известную формулу для разности

косинусов, запишем

функцию в виде Так как

Дата добавления: 2015-08-13