Конспекты лекций 4 страница

Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , определенную на отрезке , причем Найдем производные функции до -го порядка включительно:

…

.

По формуле Маклорена для функции одной переменной имеем:

, где

Полагая , получим

.

С учетом того, что , , имеем

В частности,

+

+ .

Остаточный член

можно

записать в виде , где

.

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке до членов второго порядка включительно.

Решение. Найдем частные производные функции до второго порядка включительно:

В точке имеем

Подставляя эти выражения в формулу Тейлора, получаем

В форме Пеано

Упражнения для самостоятельной работы.

1.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке

а)

б)

в) .

2.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром

разложения в данной точке до членов указанного порядка

включительно

а) до членов второго порядка;

б) до членов третьего порядка;

в) до членов третьего порядка;

г) до членов четвертого порядка;

д) до членов второго порядка.

17.ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любой точки .

Точка называется точкой локального экстремума, если она является либо точкой локального максимума, либо точкой локального минимума.

Приведем еще одно определение максимума и минимума функции.

Пусть тогда

.

1) Если при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция достигает максимума в точке .

2) Если при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция достигает минимума в точке .

Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если - точка локального экстремума функции , имеющей непрерывные частные производные в этой точке, то

Доказательство. Дадим переменной определенное значение . Тогда функция будет функцией одной переменной . Так как при она имеет экстремум, и имеет непрерывную производную , то

Аналогично доказывается, что

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума.

Пример. Функция имеет производные

, которые обращаются в нуль при .

Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения.

Точки, в которых (или не существует) и (или не существует), называются критическими точками функции .

Точки, в которых все частные производные первого

порядка равны нулю, называются точками стационарности функции или стационарными точками.

Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того, точка - стационарная, то есть

Обозначим

и . Тогда:

1) если , то в точке функция имеет минимум;

2) если , то в точке функция имеет максимум;

3) если , то экстремума в точке нет;

4) если , то экстремум в этой точке может быть и

может не быть (требуется дальнейшее исследование).

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции

+

+ ,

где По условию - точка стационарности, поэтому . Из формулы Тейлора следует

+ .

Используя введенные обозначения, запишем

.

Выражение в квадратных скобках, то есть второй дифференциал , является квадратичной формой от . Если выполнено условие , то квадратичная форма сохраняет постоянный знак. Этот знак совпадает со знаком в некоторой окрестности точки , поскольку - величина бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если:

1) то и при любых достаточно

малых . Следовательно, при в точке

функция имеет минимум;

2) то и при любых

достаточно малых . Следовательно, при в точке функция имеет максимум;

3) если то может принимать как

положительные, так и отрицательные значения, поэтому экстремума в точке нет;

4)если , то и при

знак приращения функции определяется последующими слагаемыми в формуле Тейлора, поэтому требуется дополнительное исследование.

Пример. Найти локальные экстремумы функции в области

Решение. Найдем Решив

систему уравнений получим

стационарную точку , то есть . В этой точке выполнены необходимые условия экстремума. Найдем вторые частные производные

Вычислим . Так как , то точка является точкой локального максимума.

18.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОГО

ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассмотрим случай большего числа переменных. Пусть

функция определена в некоторой

окрестности точки .

Определение. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой при выполняется неравенство .

Если функция имеет в точке локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум и в этой точке

существует частная производная функции по аргументу , то

Следствие. Если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то при любых значениях дифференциалов независимых переменных

Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, называют точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума функции нужно решить систему уравнений с переменными

19.НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ

Функция вида , где числа, причем , называется квадратичной формой от переменных . Числа называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица

-

матрицей квадратичной формы.

Определители

называются угловыми минорами матрицы .

Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательноопределенной), если для любых значений переменных , одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения.

Отметим, что .

Например, - положительно определенная квадратичная форма, так как во всех точках , кроме точки (0,0).

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.

Квадратичная форма называется

квазизнакоопределенной, если она принимает либо только

неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при .

Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Критерий Сильвестра знакоопределенности

квадратичной формы.

1.Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

2. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы чередовались следующим образом:

20.ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА

Второй дифференциал функции , где - независимые переменные, в точке можно записать в виде

.

Это выражение показывает, что второй дифференциал функции в данной точке является квадратичной формой от переменных , а частные производные второго порядка - коэффициенты этой квадратичной формы.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть

функция дифференцируема в некоторой окрестности точка и дважды дифференцируема в самой точке , причем - точка возможного экстремума данной функции, то есть . Тогда если второй дифференциал , является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных , то функция имеет в точке локальный минимум (максимум). Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точке функция не имеет

локального экстремума.

Пример. Найти точки локального экстремума функции

.

Решение. Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычислим ее частные производные и приравняем их нулю

Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума: . Далее воспользуется достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции

Дата добавления: 2015-08-13