Конспекты лекций 3 страница

, следовательно,

.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Пусть , , Найдем

.

Вычислим

10.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Пусть функция имеет в точке первые производные. На поверхности рассмотрим три точки , и проведем через них плоскость. Ее уравнение:

,

или Считая , разделим левую и правую части уравнения на , получим

Переходя к пределу при

, то есть , найдем

Если функция дифференцируема, то полученное уравнение является уравнением касательной плоскости к поверхности в точке . Можно доказать, что если на данной поверхности провести через точку всевозможные кривые и в этой точке построить к ним касательные, то все эти касательные располагаются в найденной плоскости.

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке (точке касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Определение. Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Если уравнение поверхности задано неявно , то уравнение касательной плоскости имеет вид

Уравнение нормали:

Заметим, что приращение на касательной плоскости

дается формулой , то есть совпадает с полным дифференциалом функции .

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Обозначим через левую часть уравнения поверхности, найдем частные производные и их значения в точке :

Подставляя найденные значения частных производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

или - уравнение касательной плоскости;

или - уравнение нормали.

11.ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть , тогда является сложной функцией аргументов Пусть функции - дифференцируемые функции своих аргументов. Вычислим .

Дадим приращение , сохраняя значение неизменным, тогда получат приращения , а получит приращение :

.

Разделим левую и правую часть последнего равенства на :

.

Если , то в силу непрерывности функций , но при этом и . Переходя к пределу при , получаем

.

Аналогично, давая приращение при фиксированном получим

Пример. Вычислить частные производные функции

Решение.

=

=

Если функция , где функции зависят от одного аргумента : тогда функция фактически зависит от одной переменной и можно находить полную производную :

,

но , а функции зависят от одного аргумента , то частные производные обращаются в обыкновенные

.

12.ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть . Найдем полный дифференциал сложной функции:

, но ,

, поэтому

или .

Мы показали, что выражения полного дифференциала

функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеют одинаковый вид, если - независимые переменные или функции независимых переменных. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью формы первого дифференциала.

13.ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

Теорема. Пусть непрерывная функция от задается неявно уравнением , где - непрерывные функции в некоторой области, содержащей точку , координаты которой удовлетворяют уравнению , кроме того, Тогда

Доказательство. Дадим приращение , тогда получит приращение и . Тогда

,

следовательно,

Переходя к пределу при получим

.

Пример. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

Решение. Обозначим . Вычислим частные производные , тогда

Рассмотрим уравнение вида . Если каждой паре чисел из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению. Тогда это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от , частные производные неявной функции имеют вид:

при .

14.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

Пусть . Частные производные являются функциями от переменных . В некоторых случаях для этих функций снова существуют частные производные, называемые частными производными второго порядка:

- смешанные производные второго порядка.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка

Частная производная го порядка получается, если

функцию раз продифференцировать по переменной ,

а затем раз по .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка Затем, вычисляя частные производные от частных производных первого порядка, получаем частные производные второго порядка данной функции

Заметим, что в рассмотренном примере

Справедлива следующая

Теорема. Если все входящие в вычисления частные производные, рассматриваемые как функции своих независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Например, если непрерывны, то

Пример. Найти , если .

Решение. Найдем сначала . Вычисляя теперь по

формуле Лейбница вторую производную по от , получаем: =

=

Упражнения для самостоятельной работы:

Найти частные производные указанного порядка:

а) , если

б) , если

в) , если г) , если

д) , если

е) , если

ж) , если

15.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Дифференциалом первого порядка функции называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов:

.

Дифференциалом второго порядка функции

называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных

при фиксированных значениях , то есть

Замечание. рассматривается как функция только независимых переменных . При вычислении дифференциалов от приращения независимых переменных берутся такими же, как и в выражении для , то есть равными

Найдем вид второго дифференциала:

+ +

Последнюю формулу можно записать в более компактном виде. Символ назовем оператором дифференциала. При действии этого оператора на функцию получается дифференциал функции . Определим ную степень оператора дифференциала как ную степень двучлена . В частности, при

получаем

.

При действии оператора на функцию получится второй дифференциал функции. Таким образом, второй дифференциал можно записать в операторном виде:

.

Дифференциал произвольного го порядка функции определяется индуктивно по формуле Для справедлива операторная формула

.

Если являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-либо независимых переменных, то последняя формула при становится, вообще говоря, неверной из-за неинвариантности формы дифференциалов высших порядков. В частности, при имеем

.

В случае функции независимых переменных дифференциал го порядка определяется индуктивно. Оператор дифференциала имеет вид и справедлива операторная формула

Пример. Найти второй дифференциал функции в точке .

Решение. Вычисляем частные производные второго порядка данной функции

. В указанной точке, получим

.

Подставляя эти значения формулу второго дифференциала, находим

16.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка включительно в некоторой окрестности точки . Тогда для любой точки из этой окрестности справедливо равенство

где - некоторая точка, лежащая на отрезке , . Последнее слагаемое (остаточный член) можно записать в форме Пеано где , а символ означает бесконечно малую при (или при )функцию более высокого порядка малости, чем .

Дата добавления: 2015-08-13