Конспекты лекций 2 страница

то функция

непрерывна в точке .

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Найти точки разрыва следующих функций:

а) б) в) ;

г) д) ; е)

ж) .

Ответ:. а)О(0,0); б) все точки окружности ; в)

все точки конической поверхности ; г) все точки прямой ; д) все точки прямых ; е) все точки прямых ; ж) все точки сфер .

5.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю (если он существует)

Аналогично,

Заметим, что вычисляется при неизменном , а

при неизменном , поэтому частной производной по от функции называется производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная.

Частной производной по от функции называется производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная.

Физический смысл частной производной -это скорость изменения функции в точке в направлении оси , а – скорость изменения функции в точке в направлении оси .

Примеры.

Найти частные производные функций:

1) . Решение. Вычислим в

предположении, что имеет фиксированное значение:

. При вычислении считаем имеет фиксированное значение:

2) , . Решение. При вычислении частной

производной функции по аргументу рассматриваем

функцию как функцию только одной переменной , то есть считаем, что имеет фиксированное значение. При фиксированном функция является степенной функцией аргумента . По формуле дифференцирования степенной функции получаем Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение , и рассматриваем функцию как показательную функцию аргумента . Получаем

Упражнения для самостоятельной работы:

4) Найти частные производные следующих функций:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и) к)

6.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Обозначим через плоскую кривую, полученную при пересечении поверхности плоскостью Пусть касательная к кривой в точке образует угол с положительным направлением оси .Тогда Аналогично, обозначим через - сечение поверхности плоскостью , - угол, образованный осью и касательной к кривой в точке . Тогда Таким образом, частная производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке к кривой, полученной при пересечении поверхности плоскостью Частная производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке к кривой, полученной при пересечении поверхности плоскостью

7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА В СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ.

Частные производные находят широкое применение в физике при исследовании различных скалярных и векторных полей (температурного, гравитационного, электромагнитного, электростатического и т.д.).

I. Определение. Градиентом скалярного поля называется вектор-функция

Вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке, а есть скорость роста функции в этом направлении.

Определение. Векторное поле называется потенциальным в области , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля :

Примеры.

1). Рассмотрим поле тяготения точечной массы , помещенной в начале координат. Оно описывается вектор-функцией ( -гравитационная постоянная,

, ). С такой силой действует это поле на единичную массу, помещенную в точку . Поле тяготения является потенциальным. Его можно представить как градиент скалярной функции , называемой ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы . Действительно, Аналогично откуда

2)Рассмотрим электрическое поле точечного заряда ,

помещенного в начале координат. Оно описывается в точке вектором напряженности

(, ).

Докажите, что поле потенциально и его можно представить в виде Функция называется потенциалом электрического поля точечного заряда .

Поверхности уровня потенциала называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

3)Найти градиент скалярного поля в точке

Ответ:{12,-8,-6}.

4)Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках и

Ответ:

II. Определение. Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция

.

Слово «дивергенция» означает «расходимость» («расхождение»). Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если в этой области Так как характеризует плотность источников поля , то в той области, где поле соленоидально, нет источников этого поля.

Примеры.

1)Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

;

Так как и

аналогично, то при Физически этот результат означает отсутствие источников поля в любой точке, кроме начала координат. В начале координат (бесконечная плотность заряда).

2) Найти дивергенцию векторного поля

в точке Ответ: 84.

3) Проверить соленоидальность поля

III Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор-функция

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Равенство ротора нулю является необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Примеры.

1). Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Векторное поле скоростей точек этого тела можно представить в виде

Найдем ротор поля скоростей

Таким образом, является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения , а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

2). Рассмотрим потенциальное поле Его потенциал Вычислим ротор этого поля:

Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.

3) Найдите ротор векторного поля в точке Ответ: {1,1,1}.

8. ПОЛНЫЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

По определению полного приращения функции имеем

.

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого представим приращение функции в виде

При

меняя к первой и второй разностям теорему Лагранжа, получим

где заключено между и ;

где заключено между и .

Подставляя представление разностей через производные в полное приращение функции, получим . Так как по предположению частные производные непрерывны, а и заключены между и и и соответственно, то

.

Последние равенства можно записать в виде

где величины

стремятся к нулю при , то есть когда .

Тогда . Сумма является бесконечно малой более высокого порядка, чем . Действительно, так как , а . Сумма линейна относительно и при представляет собой главную часть приращения функции.

Определение. Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы выражения, линейного относительно и величины бесконечно малой более высокого порядка, чем , называется дифференцируемой в данной точке. Главная часть полного приращения функции линейная относительно называется полным дифференциалом функции и обозначается или .

Если функция имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

.

Полное приращение функции представимо в виде , следовательно, .

Приращения будем называть дифференциалами независимых переменных и обозначать , тогда

.

Аналогично, для функции трех переменных

Пример. Найти дифференциал функции

1) в точках

Решение. Вычислим частные производные . Запишем вид дифференциала

Тогда

2) в точках

Ответ:

9.ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА К

ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть , тогда

Дата добавления: 2015-08-13