Конспекты лекций 5 страница

Значения этих частных производных в точке

являются коэффициентами - квадратичной формы от

переменных Матрица этой квадратичной формы

имеет вид

.

Вычисляя главные миноры матрицы , получаем

Согласно критерию Сильвестра, является положительно определенной квадратичной формой от переменных . Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум.

Исследуем теперь точку . Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Отсюда получаем:

Следовательно, не является знакоопределенной квадратичной формой от Не трудно видеть, что эта квадратичная форма- знакопеременная. Следовательно, в точке функция не имеет локального экстремума.

Упражнения для самостоятельной работы.

1.Найти точки локального экстремума следующих функций двух переменных:

а) б) в)

г) д)

Ответ:а) б) точек экстремума нет;

в) г)

д)

2.Найти точки локального экстремума следующих функций трех переменных:

а)

б)

в)

г) д)

е)

Ответ:а)

б) в)

г) д)

е)

21.УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Рассмотрим функцию

(1)

при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой соотношениями :

(2)

Эти соотношения называются условиями связи. Пусть

координаты точки удовлетворяют уравнениям

(2).

Определение. Функция (1) имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки () этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство .

Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из уравнений условий связи переменных выражают через остальные переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию и решают задачу об экстремуме функции переменных.

Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Из условий связи находим . Подставляя найденные в функцию, приходим к функции одной переменной : , для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как при , то функция имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку в точке функция имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения : . Итак, функция при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем

Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме

функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа

,

( - называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума

выражаются системой уравнений:

(3)

относительно неизвестных . Если - решение системы (3), то является точкой возможного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа

.

Для каждой системы значений , полученной из (3) при условии, что удовлетворяют уравнениям

(4)

при

Функция имеет условный максимум

в точке , если для всевозможных значений

, удовлетворяющих условиям (4) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство (квадратичная форма отрицательно определена) и условный минимум, если при этих условиях (квадратичная форма положительно определена) то в точке функция (1) имеет условный минимум при условии связи (2), если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке функция (1) не имеет

условного экстремума.

Пример 1. Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений

Она имеет единственное решение то есть - единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа и подставляя и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный минимум.

Пример 2. На эллипсоиде найти точку, наиболее удаленную от точки (0,0,3).

Решение. Расстояние между точками и (0,0,3)

определяется формулой . Поэтому

исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции при условии связи . Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений:

Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть . Поэтому из первого уравнения системы следует, что . Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем Из последнего уравнения системы находим Итак, функция имеет две точки возможного экстремума . Из уравнения связи получим , откуда Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

.

Подставим , координаты точки и выражение для , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных : . Отсюда следует, что функция имеет в точках условный максимум при заданных условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки наиболее удаленные от точки (0,0,3).

Задачи для самостоятельной работы.

1. Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию:

а) при условии связи ;

б) при условии связи ;

в) при условии связи ;

г) при условии связи ;

д) при условии связи ;

е) при условии связи

;

ж) при условии связи .

Ответ:а)

б) ;

в) в точках и ;

в точках и ;

г) д) нет точек экстремума;

е) ;ж) ;

2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:

а) функцию при условии связи

б) функцию при условиях связи

.

Ответ: а) в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),

(-1,-1,-1), в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);

б) в точках

, в точках

.

3.При каких значениях диаметра основания и высоты

цилиндрическая банка, объем которой равен 54 , имеет наименьшую поверхность? Ответ: .

4. При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 см² открытая сверху (т.е. без верхней грани), имеет наименьшую поверхность?

Ответ: при высоте 2 см и длинах сторон основания равных 4 см.

5. Найдите наименьшее расстояние между точками параболы и прямой . Ответ: .

22.НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если функция дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области. Таким образом, для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции в замкнутой области, необходимо:

1) найти стационарные точки, расположенные в данной

области, вычислить значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции

на линиях, образующих границу области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции в области , (прямоугольнике).

Решение. 1) Найдем стационарные точки функции из

системы Получаем две стационарных

точки . Значения функции в этих точках

2) Исследуем функцию на границах области:

а) При имеем . Эта функция монотонно

возрастает и на концах отрезка [-1,2] принимает значения ;

б) при имеем . Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка [-1,2]. Имеем при , или в данной области, при .

в) При имеем и . Функция монотонно возрастает от до .

г) При имеем и

при .

3) Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что в точке (2,-1); в точках (1,1) и (0,-1).

Задачи для самостоятельной работы.

1.Найти наибольшее значение функции в

областях а) б)

Ответ: а) при б) при

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

Ответ: при и при ;

при

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

Ответ: при ; при .

4. Представить положительное число в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.

Ответ:

23.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В практических применениях математики часто встречается такая задача. Зависимость между переменными величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений, статистической обработки материала и т.п. Требуется выразить эту зависимость между переменными аналитически, т.е. дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая формула облегчает анализ изучаемой зависимости. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть эмпирическими формулами.

Дата добавления: 2015-08-13