Тема 2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида (2.1)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет (2.2)

где С – произвольная постоянная.

Уравнение вида (2.3)

или (2.4)

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям (2.3) или (2.4), называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделение переменных в уравнениях (2.3), (2.4) выполняется следующим образом. Предполагая, что , обе части уравнения (2.3) делятся на .

Обе части уравнения (2.4) умножаются на и делятся на . В результате получают уравнения с разделенными переменными (т.е. уравнение вида (2.1)):

которые интегрируются, согласно формуле (2.2):

Пример 2.1. Найти общее уравнение дифференциального уравнения

Данное уравнение можно представить в виде

Предположим, что и разделим обе части уравнения на получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя его, согласно формуле (2.2), последовательно получаем следующее:

Последнее равенство является общим интегралом данного уравнения. При его нахождении были приняты ограничения Однако функции и могут являться решениями исходного уравнения. Проверим это, подставляя и в исходное уравнение. Если , то выражение переходит в тождество. Аналогично и при подстановке . Следовательно, , - частные решения данного уравнения.

Пример 2.2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме (2.1)

Теперь проинтегрируем последнее уравнение

– получили общее решение исходного уравнения.

Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид т.е. точка (0; 1).

Замечание. Уравнение вида приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

Пример 2.3. Найти общее решение дифференциального уравнения (2.5)

Для того, чтобы исходное уравнение являлось уравнением в разделяющихся переменных, произведем замену (2.6)

Поскольку найдем Для этого продифференцируем выражение (2.6) по переменной x:

Подставляем замену и выражение для в (2.5):

Приводим последнее выражение к виду (2.1):

Теперь интегрируем:

Вычислив интегралы и выполнив обратную замену, получим:

---

Дата добавления: 2015-08-13