Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дисперсионный анализ. Регрессионный анализ (построение уравнения регрессии методом наименьших квадратов)

Читайте также:
  1. A. Пошаговая схема анализа воздействий
  2. ABC-анализ данных о поставщиках
  3. I. АНАЛИЗ МОДЕЛИ ГЛОБАЛИЗАЦИИ.
  4. I. Сделайте анализ следующих сложносочиненных предложений. Обратите внимание на порядок слов в предложениях. Предложения переведите на русский язык.
  5. I.2 Экономический анализ производства и реализации продукции
  6. II. Основные проблемы, вызовы и риски. SWOT-анализ Республики Карелия
  7. II.2 Анализ финансовой устойчивости

 

28.1 Дисперсионный анализ используется, когда при обработке и анализе результатов моделирования ставится задача сравнения средних значений выборок.

Допустим, изучаемый фактор Х привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y1, y2, ¼, yk, где k – количество уровней фактора Х.

Влияние фактора Х опишем неслучайной величиной Dx, называемой факторной дисперсией

,

где - среднее арифметическое величины Y.

Пусть серия наблюдений на уровне yi имеет вид: yi1, yi1, ¼, yin, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений определяется как

,

а среднее значение наблюдений по всем уровням

.

Тогда общая выборочная дисперсия всех наблюдений равна

.

При этом, разброс значений Y определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора Х.

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами

,

а оценка факторной дисперсии

.

Так как факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на
i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии вида

.

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию Sв2, имеющую (k-1) степеней свободы. Влияние фактора Х будет значимым, если при заданном g выполняется неравенство

.

В противном случае влиянием фактора Х на результаты моделирования можно пренебречь и считать гипотезу о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, при помощи дисперсионного анализа можно проверять гипотезу о тождественности выборочной и генеральной дисперсий.

 

28.2 Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе работы имитационной модели. Под наилучшим понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента.

Рассмотрим случай, когда независимая переменная – одна, а уравнение линейно. Коэффициенты будем обозначать через b с разными индексами. Таким образом, для случая объекта с одним входом и выходом, результаты измерения xi и yi могут иметь вид, как это показано на рисунке 16.

 
 

 


Рисунок 16 – Построение уравнения регрессии

 

Из анализа расположения точек xi и yi можно сделать вывод, что модель объекта может быть представлена уравнением прямой линии (19). Численным подтверждением этого предположения может служить величина коэффициента корреляции

, (20)

где - средние значения, вычисляемые по формуле (15).

Если , то имеет место линейная зависимость вида (19). В противном случае, если <<1, то между x и y линейная связь отсутствует. Полагая наличие линейной зависимости (19), определяют такие значения коэффициентов b0 и b1, при которых сумма квадратов ошибок является минимальной. На рисунке ошибка для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии y. Обозначим расчетные yi через . Тогда выражение для ошибок, разность между опытными значения yi и расчетными yi, будет иметь вид

.

Трудность заключается в том, что наименьшим должно быть не одно такое отклонение, а сумма всех отклонений сразу

,

но тогда отклонения рассматриваются не только по величине, а и по знаку. Потребуем, чтобы сумма отклонений была минимальной по абсолютной величине

.

Нахождение минимума связано с дифференцированием, а продифференцировать сумму не всегда возможно. Абсолютные величины как функции имеют точку излома при значении, равном нулю; в этой точке производная имеет разрыв. Поэтому желательно найти другую функцию, которая так же, как абсолютная величина, всегда была бы неотрицательной. Простейшая из таких функций – квадрат. Если мы начнем суммировать квадраты отклонений , то все члены суммы будут неотрицательны. Поэтому чаще всего задачу аппроксимации функции по опытным точкам решают на основе критерия

.

Такой вид аппроксимации называют методом наименьших квадратов. Тогда функция ошибки имеет вид

.

Для получения b0 и b1, при которых Ф является минимальной, принимаются необходимые условия минимума:

.

Дифференцируя (при дифференцировании следует помнить, что производная суммы равна сумме производных) Ф по b0 и b1,получаем:

(21)

(22)

Приравняв к нулю уравнения (21) и (22) и сократив на постоянный множитель
(-2), получим нормальные уравнения

.

Решая эти уравнения относительно b0 и b1, получаем:

; (23)

. (24)

Мерой ошибки регрессионной модели служит среднеквадратичное отклонение

s= .

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения s от линии регрессии и 95% точек - в пределах 2s. Для проверки точности используются критерии Фишера и Стьюдента.

 

29 Понятие адекватности. Критерии согласия: Пирсона (c2 – критерий), Смирнова, Стьюдента (t - критерий), Фишера (F - критерий), Кохрена (У - критерий), Чеснокова, Колмогорова

 

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Задача проверки адекватности модели заключается в построении критерия для проверки нулевой гипотезы Н0.

 


29.1 Критерий согласия Пирсона (критерий c2). Н0 – о виде распределения.

,

где - количество значений случайной величины h, попавших в i-й подинтервал;

- вероятность попадания случайной величины h в i-й подинтервал, вычисленный из теоретического распределения;

d - количество подинтервалов, на которые разбит интервал измерения.

Была выдвинута гипотеза H0 o том, что полученные интервалы времени на набор строк задания подчиняются нормальному закону распределения. По вычисленному U=c2, числу степеней свободы k=d-r-1 (r – число параметров теоретического закона распределения) и таблиц находят вероятность . Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости g, то гипотеза Н0 принимается.

 

29.2 Критерий согласия Кокрена (Y - критерий). Н0 – однородность выборки. Используется следующая формула

.

где - максимальная из всех дисперсий параллельных опытов;

- оцениваемая дисперсия.

По вычисленному Y, числу степеней свободы k=N-1 и таблиц находят - табличные значения. Гипотеза Н0 применяется, если при некотором уровне значимости g.

 

29.3 Критерий согласия Колмогорова. Н0 – о виде распределения.

В качестве меры распределения случайной величены используется D, вычисленная по формуле

.

Из теоремы Колмогорова следует, что , и имеет функцию распределения:

, z>0.

Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение d меньше, чем табличное при выбранном уровне значимости g, то гипотезу Н0 принимают. В противном случае расхождение между FЭ(y) и F(y) считается неслучайным и Н0 отвергают.

Данный критерий целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения.

 

29.4 Критерий согласия Чеснокова. В ситуациях, когда приходится анализировать материалы свободного описания объектов, т.е. выбирать произвольно избирательные качественные критерии, возникает необходимость установить значимость сходства характеристик приписываемых различным объектам. Это реализуется с помощью вычисления дефекта связи D и ее объема C между двумя наборами соответствующих характеристик.

Если К0 – число элементов характеристик, вошедших в оба ряда свойств сравниваемых объектов;

К1 – число элементов, включенных в ряд описания 1-го объекта;

К2 – число элементов, включенных в ряд описания 2-го объекта;

то для вычисления дефекта связи D и объема связи С:

, .

Если , а , то между двумя рядами характеристик существует значимая связь, а сходство рассматриваемых в описании объектов достоверное.

29.5 Критерий согласия Фишера (F-критерий). Н0 заключающейся в принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности.

Пусть надо сравнить две дисперсии и , полученные результаты при моделировании со степенями свободы k1 и k2, k1=N1-1, k2=N2-1. Причем , для того, чтобы опровергнуть нулевую гипотезу Н0: , надо при уровне значимости g указать значимость расхождения между и . При условии независимости выборок, взятых из нормативных совокупностей, в качестве критерия значимости используется F-критерий

.

Вычисляют F, определяют k1 и k2 и при выбранном уровне значимости g по таблицам F-распределений находят значения границ критической области:

и .

Затем проверяется неравенство: . Если неравенство выполняется, то с доверительной вероятностью b гипотеза Н0 принимается.

 

29.6 Критерий согласия Стьюдента (t-критерий). Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[u]=D[z], сводится к проверке нулевой гипотезы Н0: .

Для проверки гипотезы необходимо вычислить t:

,

где N1 и N2 – объем выборок для оценки и ;

и - оценки дисперсий.

Затем определяется число степеней свободы k и при выбранном уровне значимости g и таблиц сравнивают t и tg. Если |t|<tg, то гипотезу Н0 принимают.

 

29.7 Критерий согласия Смирнова. Н0: две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если выборки независимы между собой и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которых извлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов n и z, то для проверки нулевой гипотезы Н0 можно использовать критерий Смирнова.

По имеющимся результатам вычисляют эмпирические функции распределений Fэ(u) и Fэ(z) и определяют

.

Если при выбранном уровне значимости g выполняется соотношение

,

где N1 и N2 объемы сравниваемых выборок для FЭ(u) и FЭ(z) и проводится сравнение D и Dg, если D> Dg, то нулевая гипотеза Н0 о тождественности законов распределений F(u) и F(z) с доверительной вероятностью отвергается.

 


Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Моделирование герметизированной гидравлической емкости | Моделирование подогреваемой герметизированной емкости | Моделирование теплового и материального баланса емкости с паровой рубашкой при изменении поверхности теплопередачи | Моделирование процесса кипения в проточной емкости подогреваемой паровой рубашкой | Псевдослучайные числа. Основные способы генерации базовых случайных величин | Моделирование случайных событий. Моделирование группы случайных событий | Моделирование сложных событий | Общая характеристика методов статистического моделирования | Полный факторный эксперимент | Особенности обработки результатов моделирования. Требования, предъявляемые к качеству оценок |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Статистический анализ| Построение статической модели динамики объекта управления

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)