Читайте также:
|
|
28.1 Дисперсионный анализ используется, когда при обработке и анализе результатов моделирования ставится задача сравнения средних значений выборок.
Допустим, изучаемый фактор Х привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y1, y2, ¼, yk, где k – количество уровней фактора Х.
Влияние фактора Х опишем неслучайной величиной Dx, называемой факторной дисперсией
,
где - среднее арифметическое величины Y.
Пусть серия наблюдений на уровне yi имеет вид: yi1, yi1, ¼, yin, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений определяется как
,
а среднее значение наблюдений по всем уровням
.
Тогда общая выборочная дисперсия всех наблюдений равна
.
При этом, разброс значений Y определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора Х.
Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.
Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами
,
а оценка факторной дисперсии
.
Так как факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на
i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии вида
.
Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию Sв2, имеющую (k-1) степеней свободы. Влияние фактора Х будет значимым, если при заданном g выполняется неравенство
.
В противном случае влиянием фактора Х на результаты моделирования можно пренебречь и считать гипотезу о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.
Таким образом, при помощи дисперсионного анализа можно проверять гипотезу о тождественности выборочной и генеральной дисперсий.
28.2 Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе работы имитационной модели. Под наилучшим понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента.
Рассмотрим случай, когда независимая переменная – одна, а уравнение линейно. Коэффициенты будем обозначать через b с разными индексами. Таким образом, для случая объекта с одним входом и выходом, результаты измерения xi и yi могут иметь вид, как это показано на рисунке 16.
Рисунок 16 – Построение уравнения регрессии
Из анализа расположения точек xi и yi можно сделать вывод, что модель объекта может быть представлена уравнением прямой линии (19). Численным подтверждением этого предположения может служить величина коэффициента корреляции
, (20)
где - средние значения, вычисляемые по формуле (15).
Если , то имеет место линейная зависимость вида (19). В противном случае, если <<1, то между x и y линейная связь отсутствует. Полагая наличие линейной зависимости (19), определяют такие значения коэффициентов b0 и b1, при которых сумма квадратов ошибок является минимальной. На рисунке ошибка для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии y. Обозначим расчетные yi через . Тогда выражение для ошибок, разность между опытными значения yi и расчетными yi, будет иметь вид
.
Трудность заключается в том, что наименьшим должно быть не одно такое отклонение, а сумма всех отклонений сразу
,
но тогда отклонения рассматриваются не только по величине, а и по знаку. Потребуем, чтобы сумма отклонений была минимальной по абсолютной величине
.
Нахождение минимума связано с дифференцированием, а продифференцировать сумму не всегда возможно. Абсолютные величины как функции имеют точку излома при значении, равном нулю; в этой точке производная имеет разрыв. Поэтому желательно найти другую функцию, которая так же, как абсолютная величина, всегда была бы неотрицательной. Простейшая из таких функций – квадрат. Если мы начнем суммировать квадраты отклонений , то все члены суммы будут неотрицательны. Поэтому чаще всего задачу аппроксимации функции по опытным точкам решают на основе критерия
.
Такой вид аппроксимации называют методом наименьших квадратов. Тогда функция ошибки имеет вид
.
Для получения b0 и b1, при которых Ф является минимальной, принимаются необходимые условия минимума:
.
Дифференцируя (при дифференцировании следует помнить, что производная суммы равна сумме производных) Ф по b0 и b1,получаем:
(21)
(22)
Приравняв к нулю уравнения (21) и (22) и сократив на постоянный множитель
(-2), получим нормальные уравнения
.
Решая эти уравнения относительно b0 и b1, получаем:
; (23)
. (24)
Мерой ошибки регрессионной модели служит среднеквадратичное отклонение
s= .
Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения s от линии регрессии и 95% точек - в пределах 2s. Для проверки точности используются критерии Фишера и Стьюдента.
29 Понятие адекватности. Критерии согласия: Пирсона (c2 – критерий), Смирнова, Стьюдента (t - критерий), Фишера (F - критерий), Кохрена (У - критерий), Чеснокова, Колмогорова
Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.
Задача проверки адекватности модели заключается в построении критерия для проверки нулевой гипотезы Н0.
29.1 Критерий согласия Пирсона (критерий c2). Н0 – о виде распределения.
,
где - количество значений случайной величины h, попавших в i-й подинтервал;
- вероятность попадания случайной величины h в i-й подинтервал, вычисленный из теоретического распределения;
d - количество подинтервалов, на которые разбит интервал измерения.
Была выдвинута гипотеза H0 o том, что полученные интервалы времени на набор строк задания подчиняются нормальному закону распределения. По вычисленному U=c2, числу степеней свободы k=d-r-1 (r – число параметров теоретического закона распределения) и таблиц находят вероятность . Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости g, то гипотеза Н0 принимается.
29.2 Критерий согласия Кокрена (Y - критерий). Н0 – однородность выборки. Используется следующая формула
.
где - максимальная из всех дисперсий параллельных опытов;
- оцениваемая дисперсия.
По вычисленному Y, числу степеней свободы k=N-1 и таблиц находят - табличные значения. Гипотеза Н0 применяется, если при некотором уровне значимости g.
29.3 Критерий согласия Колмогорова. Н0 – о виде распределения.
В качестве меры распределения случайной величены используется D, вычисленная по формуле
.
Из теоремы Колмогорова следует, что , и имеет функцию распределения:
, z>0.
Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение d меньше, чем табличное при выбранном уровне значимости g, то гипотезу Н0 принимают. В противном случае расхождение между FЭ(y) и F(y) считается неслучайным и Н0 отвергают.
Данный критерий целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения.
29.4 Критерий согласия Чеснокова. В ситуациях, когда приходится анализировать материалы свободного описания объектов, т.е. выбирать произвольно избирательные качественные критерии, возникает необходимость установить значимость сходства характеристик приписываемых различным объектам. Это реализуется с помощью вычисления дефекта связи D и ее объема C между двумя наборами соответствующих характеристик.
Если К0 – число элементов характеристик, вошедших в оба ряда свойств сравниваемых объектов;
К1 – число элементов, включенных в ряд описания 1-го объекта;
К2 – число элементов, включенных в ряд описания 2-го объекта;
то для вычисления дефекта связи D и объема связи С:
, .
Если , а , то между двумя рядами характеристик существует значимая связь, а сходство рассматриваемых в описании объектов достоверное.
29.5 Критерий согласия Фишера (F-критерий). Н0 заключающейся в принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Пусть надо сравнить две дисперсии и , полученные результаты при моделировании со степенями свободы k1 и k2, k1=N1-1, k2=N2-1. Причем , для того, чтобы опровергнуть нулевую гипотезу Н0: , надо при уровне значимости g указать значимость расхождения между и . При условии независимости выборок, взятых из нормативных совокупностей, в качестве критерия значимости используется F-критерий
.
Вычисляют F, определяют k1 и k2 и при выбранном уровне значимости g по таблицам F-распределений находят значения границ критической области:
и .
Затем проверяется неравенство: . Если неравенство выполняется, то с доверительной вероятностью b гипотеза Н0 принимается.
29.6 Критерий согласия Стьюдента (t-критерий). Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[u]=D[z], сводится к проверке нулевой гипотезы Н0: .
Для проверки гипотезы необходимо вычислить t:
,
где N1 и N2 – объем выборок для оценки и ;
и - оценки дисперсий.
Затем определяется число степеней свободы k и при выбранном уровне значимости g и таблиц сравнивают t и tg. Если |t|<tg, то гипотезу Н0 принимают.
29.7 Критерий согласия Смирнова. Н0: две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если выборки независимы между собой и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которых извлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов n и z, то для проверки нулевой гипотезы Н0 можно использовать критерий Смирнова.
По имеющимся результатам вычисляют эмпирические функции распределений Fэ(u) и Fэ(z) и определяют
.
Если при выбранном уровне значимости g выполняется соотношение
,
где N1 и N2 объемы сравниваемых выборок для FЭ(u) и FЭ(z) и проводится сравнение D и Dg, если D> Dg, то нулевая гипотеза Н0 о тождественности законов распределений F(u) и F(z) с доверительной вероятностью отвергается.
Дата добавления: 2015-08-18; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Статистический анализ | | | Построение статической модели динамики объекта управления |