Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами второго порядка

Читайте также:
  1. IX. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОРЯДКА В УНИВЕРСИТЕТЕ.
  2. Q]3:1: Общие уравнения прямой в пространстве
  3. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  4. Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка
  5. Бланк формализованного наблюдения за проведением беседы во время второго дородового патронажа на тему
  6. Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.
  7. ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО СТОЛБЦА НА СТАБИЛЬНОСТЬ СЕМЬИ

Рассмотрим несколько приемов для нахождения решения дифференциального уравнения второго порядка следующего вида (9.5)

Если известно частное решение линейного однородного уравнения n-го порядка (9.1), то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого в уравнение надо подставить и затем понизить порядок заменой

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения (9.5), у которого известно одно частное решение можно понизить порядок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

, где и - любые два решения (9.5)

Пример 9.3. Решить уравнение если известно его частное решение

Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля:

. (9.6)

Последнее является линейным уравнением первого порядка. Решим его.

Пусть тогда .

Подставляя найденные и в (9.6), имеем

.

Применив формулу интегрирования по частям в интеграле

получим

.

Тогда общее решение исходного уравнения есть

Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора (в виде многочлена или в виде показательной функции ).

Пример 9.4. Для уравнения из примера 9.3 найти частные решения. Вначале найдем частное решение в виде алгебраического многочлена Найдем его степень. Для этого подставим его в исходное уравнение

.

Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим:

Замечание. При решении уравнения, составленного из коэффициентов при старшей степени x, выбираются только целые положительные числа. В нашем примере степень многочлена будет первой степени. Ищем его в виде Подставляя его в исходное уравнение, получим

Значит, частное решение Попробуем найти частное решение в виде показательной функции Подставим его в исходное уравнение:

Последнее тождество возможно лишь тогда, когда одновременно выполняются равенства:

Отсюда находим, что Следовательно, – частное решение.


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 289 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Линейно зависимые функции. Определитель Вронского.| Бартерные операции

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)