Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами второго порядка

Рассмотрим несколько приемов для нахождения решения дифференциального уравнения второго порядка следующего вида (9.5)

Если известно частное решение линейного однородного уравнения n-го порядка (9.1), то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого в уравнение надо подставить и затем понизить порядок заменой

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения (9.5), у которого известно одно частное решение можно понизить порядок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

, где и - любые два решения (9.5)

Пример 9.3. Решить уравнение если известно его частное решение

Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля:

. (9.6)

Последнее является линейным уравнением первого порядка. Решим его.

Пусть тогда .

Подставляя найденные и в (9.6), имеем

.

Применив формулу интегрирования по частям в интеграле

получим

.

Тогда общее решение исходного уравнения есть

Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора (в виде многочлена или в виде показательной функции ).

Пример 9.4. Для уравнения из примера 9.3 найти частные решения. Вначале найдем частное решение в виде алгебраического многочлена Найдем его степень. Для этого подставим его в исходное уравнение

.

Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим:

Замечание. При решении уравнения, составленного из коэффициентов при старшей степени x, выбираются только целые положительные числа. В нашем примере степень многочлена будет первой степени. Ищем его в виде Подставляя его в исходное уравнение, получим

Значит, частное решение Попробуем найти частное решение в виде показательной функции Подставим его в исходное уравнение:

Последнее тождество возможно лишь тогда, когда одновременно выполняются равенства:

Отсюда находим, что Следовательно, – частное решение.

Дата добавления: 2015-08-13