Линейно зависимые функции. Определитель Вронского.

Тема 9. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами

Уравнение вида где заданные в (a,b) функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n- го порядка.

Если в то получаем уравнение

(9.1)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Линейно зависимые функции. Определитель Вронского.

Пусть имеем конечную систему из n функций (9.2)

определенных на (a,b).

Функции (9.2) называют линейно зависимыми на (a,b), если существуют постоянные не все равные нулю, такие, что для всех значений справедливо тождество

Если это тождество выполняется только при то функции (9.2) называются линейно независимыми на (a,b).

Определителем Вронского (или вронскианом) называется определитель вида

(9.3)

Критерий линейной зависимости и линейной независимости функций. Если функции (9.2), определенные и имеющие в (a,b) непрерывные производные до (n-1)-го порядка включительно, являются линейно зависимыми, то в (a,b). Если , то функции (9.2) линейно независимы.

Пример 9.1. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми

Согласно определению линейной зависимости функций (см. п.9.1) и критерию линейной зависимости функций составим определитель Вронского (9.3) для данных функций. Имеем

.

Следовательно, данные функции линейно независимые.

Дата добавления: 2015-08-13