Свойства предела последовательности комплексных чисел

Читайте также:

1. Для того, чтобы выполнялось равенство

(29.1)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

(29.2)

2. Из того, что следует

3. Если то

а)

б)

в)

Последовательность называется сходящейся к ¥, если для любого существует номер такой, что для любого номера выполняется неравенство

Другими словами, сходимость последовательности к бесконечности означает, что для любого сколь угодно большого числа можно найти такой номер, начиная с которого все элементы последовательности находятся в r -окрестности точки Символически это записывают так:

Свойства последовательности, сходящейся к

1. тогда и только тогда, когда

2. тогда и только тогда, когда

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение. Зададим произвольное малое число и рассмотрим e -окрестность точки Покажем, что существует такое натуральное число что для любого все точки рассматриваемой последовательности будут находиться в e -окрестности точки s. Это значит, что должно выполняться неравенство

Поскольку

то последнее неравенство принимает вид Решаем его относительно и полагаем Поскольку найдено, то тем самым доказано, что предел рассматриваемой последовательности равен

Пример 2. Найти если последовательность задается формулой:

1) 2)

Решение. 1) Найдем отдельно пределы действительной и мнимой частей данной последовательности, что мы можем сделать, используя свойство 1) предела последовательности. По формулам (29.1) и (29.2) получаем: