Свойства интеграла

1. Интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. При изменении направления движения по кривой знак интеграла изменяется:

где через Г₊, Г_– обозначен один и тот же путь интегрирования Г, который ориентирован положительно и отрицательно соответственно.

3. Свойство линейности интеграла:

где – числа.

4. Свойство аддитивности:

где причем дуги такие, что конец предыдущей совпадает с началом следующей.

5. Оценка модуля интеграла:

где l – длина пути интегрирования Г.

Если , то интеграл вычисляют по формуле:

которая после перемножения выражений в скобках принимает вид:

(29.18)

Таким образом, вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению криволинейных интегралов 2-го рода.

Если кривая Г задана параметрически

где непрерывна на и на то

(29.19)

Теорема Коши. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то для любой замкнутой гладкой кривой выполняется равенство:

Если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то значение интеграла взятого по гладкой кривой не зависит от пути интегрирования Г, а определяется только положениями начальной и конечной точек линии Г. В этом случае можно записать

и для вычисления интеграла можно пользоваться формулой Ньютона–Лейбница.

где F (z) – первообразная функции f (z). В случае аналитичности f (z) ее первообразную можно найти по таблице интегралов, аналогичной таблице интегралов для функций действительной переменной.

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть D – (n + 1) – связная область, которая вместе со своей границей Г лежит в области G, а f (z) – аналитическая функция в области G. Тогда

где граница Г обходится в положительном направлении и За положительное направление обхода границы Г принимается то направление, при котором область D остается слева (рис. 29.2).

При выполнении условий теоремы имеет место равенство

(29.20)

где – наружная часть границы Г, а – внутренние ее части, причем теперь все кривые обходятся в направлении против движения часовой стрелки (т. е. кривые Г₁, …, Г _n – в направлении, противоположном тому, которое указано стрелками на рис. 29.2). В частности, для двусвязной области D верно равенство

откуда следует, что

где – любой замкнутый гладкий контур, расположенный между и Г ' (лежащий в области аналитичности функции f (z)).

Рис. 29.2

Интегральная формула Коши. Если D – односвязная область с гладкой границей Г и f (z) – аналитическая функция в замкнутой области то для любой точки справедлива формула

(29.21)

где граница Г обходится в положительном направлении.

Если функция f (z) аналитична на круге то справедлива формула:

Интегральная формула Коши для многосвязной области. Если D – -связная область с границей и f (z) – аналитическая функция в замкнутой области то

где граница Г обходится в положительном направлении.

Пусть D – односвязная область с гладкой границей Г и f (z) – аналитическая функция в замкнутой области Тогда в каждой точке функция f (z) имеет производную любого порядка n, причем справедлива формула

(29.22)

Для функции f (z), аналитичной на круге справедливо неравенство

где

Пример 1. Вычислить интеграл где Г – ориентированная положительно окружность – конкретная точка комплексной плоскости (центр окружности), r – радиус,

Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся его определением (29.17). Параметрическим уравнением заданной окружности является уравнение В качестве точек деления кривой Г выберем те, которые соответствуют значениям параметра т. е.

На частичных дугах выберем точки которые соответствуют значениям параметра т. е.

Тогда интегральные суммы (29.16) приобретут вид

Согласно равенству (29.17), имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл от точки до точки

1) по отрезку прямой, соединяющему точки и

2) по дуге параболы

3) по ломаной ABC, где

Решение. 1) Сведем вычисление заданного интеграла к вычислению криволинейного интеграла 2-го рода по отрезку прямой. Уравнение прямой, проходящей через точки A и C ( и ), имеет вид Воспользуемся формулой (29.18). Так как

то

2) Воспользуемся формулой (29.18). Тогда

3) Вначале используем свойство аддитивности интеграла, а затем перейдем к криволинейному по формуле (29.18):

Заметим, что функция не является аналитической и получены разные значения интеграла при движении по разным кривым.

Пример 3. Вычислить интеграл от точки до точки

1) по дуге окружности

2) по отрезку прямой

3) по ломаной ABC, где A (0; 1), B (0; 0), C (1; 0);

4) по формуле Ньютона–Лейбница.

Решение. Подынтегральная функция имеет вид

1) Используем формулу (29.18):

(29.23)

От полученного криволинейного интеграла перейдем к определенному. Из уравнения окружности получаем При этом соответственно условию, что кривая от точки i до точки 1 лежит в правой четверти.

2) Вначале переходим от заданного интеграла к криволинейному интегралу (29.23). Затем перейдем к определенному интегралу, используя уравнение линии

3) Поскольку заданная ломаная состоит из трех звеньев, то

4) Поскольку подынтегральная функция является аналитической, то используем формулу Ньютона–Лейбница:

Заметим, что все четыре интеграла данного примера равны, так как подынтегральная функция аналитична. В таком случае значение интеграла не зависит от кривой интегрирования.

Пример 4. Вычислить интеграл:

1) где Г – окружность которая ориентирована положительно;

2) где где Г – произвольная гладкая линия с началом в точке и концом в точке

Решение. 1) Данный интеграл мы уже вычисляли в примере 1 (с. 257 данного пособия), переходя к интегральным суммам. Вычислим его другим способом, воспользовавшись формулой (29.19). Кривая интегрирования есть окружность, ее параметрическое уравнение Тогда

Видно, что предложенный тут способ вычисления интеграла является более рациональным, чем предыдущий (см. пример 1).

2) Уравнение линии Г можно записать в некотором виде где и Согласно формуле (29.19), имеем:

Мы получили ответ, который показывает, что значение интеграла от данной функции не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек.

Пример 5. Вычислить интеграл от функции вдоль линии Г, которая соединяет точки

Решение. Поскольку f (z) является аналитической функцией всюду на комплексной плоскости, то значение интеграла зависит только от начальной и конечной точек, т. е.

Используем таблицу интегралов и формулу Ньютона–Лейбница:

Пример 6. Вычислить интеграл:

1) где Г – окружность

2) где Г – окружность

Решение. 1) Преобразуем уравнение окружности Г к виду что в комплексной форме запишем как Подынтегральную функцию перепишем в виде

Заметим, что функция является аналитической в круге а точка – внутренней для этого круга. Можем использовать формулу (29.21):

2) Внутри окружности подынтегральная функция

имеет две особые точки: (третья особая точка лежит вне круга, ограниченного данной окружностью). Ограничим точки и двумя непересекающимися окружностями и которые целиком лежат внутри окружности Г.

В результате получим трехсвязную область, в которой подынтегральная функция является аналитической. Согласно формуле (29.20), имеем:

Применим формулу Коши (29.21) к интегралам в правой части равенства:

В результате получаем:

Пример 7. Вычислить интеграл

где Г – окружность

Решение. Функция является аналитической на области Согласно формуле (29.22), для (точка – внутренняя) имеем

Пример 8. Вычислить интеграл если:

1) Г – окружность 2) Г – окружность

3) Г – окружность

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде

Найдя неизвестные коэффициенты A, B, C, D из равенства

т. е. из системы уравнений

получим т. е.

Последнее выражение показывает, что в точках и заданная функция имеет разрывы (эти точки особые).

1) Поскольку то точки и лежат вне круга Значит, функция f (z) аналитична в замкнутой области и по теореме Коши

2) Найдем расстояния и от точек и соответственно до точки являющейся центром окружности

Значит, точка лежит внутри круга а точка – вне этого круга.

1-й способ. Пусть – окружность с центром в точке малого радиуса r (такого, что круг целиком лежит внутри круга Очевидно, что в двусвязной области с границами Г: и включая и сами границы (на кольце), функция f (z) аналитична. По теореме Коши для двусвязной области

Параметрическое уравнение окружности имеет вид

Замечая, что находим

так как второй интеграл в полученной сумме равен нулю, по причине аналитичности функции в круге

2-й способ. Представим функцию f (z) в виде

где Поскольку функция аналитична в области то по формуле Коши (29.21) находим:

3) Центром окружности Г: является точка

Находим:

Значит, точки и лежат внутри круга

1-й способ. Пусть и – окружности с центрами в точках и соответственно малого радиуса r (см. 2-е задание этого примера). В трехсвязной области с границами Г, включая сами границы, функция f (z) аналитична. По теореме Коши для многосвязной области имеем

Находим

Второй и третий интегралы полученной суммы равны нулю, так как подынтегральные функции аналитичны. Переходим к параметрическому заданию окружностей и и вычисляем:

2-й способ. Применяя формулу Коши к каждому из двух интегралов от функции находим:

Дата добавления: 2015-08-13