Замечательные пределы.

Первым замечательным пределом называется = 1, или = 1.

Пример: 1) = () = = = =1,5.

2) = = = = = .

3) = () = = = =

= 1 = 2.

Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е = , или е = . Неопред.

Пример: 1) = = = .

2) = = = .

3) = = = = .

Дома: Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике » стр.69, № 50;

стр.82, № 36,37,38(1),40,41; стр.171, № 251(3,4), 253(3).

№9. Практическое занятие «Вычисление предела функции». (2 часа – практика)

Проверка домашнего задания:

Домашняя работа: =0, = 0

№36. 1) = =() = D = 49 81, D = 121 81,

= ; = ;

= 2. = 2.

= = = =1.

2) = () = =0 = =

D = 4 64.

= = 3.

= = = = 1 .

;

№37. 1) = ( = =

= = = =

= = 2

2) = = = =

= = = = = = .

№38(1). ;

1) =() = =

= = =

= = = = .

№40.

= () = = = =

= =

2) = ( = =

= = = ) = =

= = = = .

№41.

Самостоятельная работа:

Н.В. Богомолов, стр.83, Зачетная работа; стр.171, № 251(1,2), № 252(1,2).

Дома: Обработка конспекта лекций №8 и №9; повторить построение графиков элементарных функций и построение графиков с помощью преобразований.

№10. Непрерывность функции в точке и на промежутке. (2 часа – лекция, практика)

Повторение:

Изучение нового материала:

Односторонние пределы.

В приведенном определении предела функции 𝔁⟶ а (т.е. 𝔁 может быть как меньше , так и больше ), говорят 𝔁 стремится к слева или 𝔁 стремится к справа.

Если при нахождении предела функции рассматривать значения 𝔁 только слева от , то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается .

Если при нахождении предела функции рассматривать значения 𝔁 только справа от , то такой предел называется правым или правосторонним и обозначается .

Левый и правый пределы называют односторонними пределами.

Пример: = = = 0,9

= = = • 𝔁

1 1,1

Непрерывность функции.

Функция f(𝔁) называется непрерывной в точке если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1). f(𝔁) определена в точке ,

2). f(𝔁) имеет конечный предел при 𝔁⟶

3). Этот предел равен значению функции в точке т.е.

= f().

Пример: Исследовать непрерывность в точке 𝔁 = 0 следующих функций:

1). y = ;

D(y) = 𝔁

В точке 𝔁 = 0 функция не является непрерывной, т.к. нарушено первое условие непрерывности.

y

0 𝔁

2) y = 𝔁 + 1, при 𝔁

𝔁 при 𝔁

1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 0 определена, f(0) = 0 +1 =1.

2). = =

= =

, ⟹ в точке 𝔁 = 0 функция не является непрерывной, т.к. нарушено второе условие непрерывности.

y

•1

0 𝔁

°

3). y = , при 𝔁

1, при 𝔁 = 0.

1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 𝔁 = 0 определена, f(0) =1,

2). = =

= =

⟹ = = 0,

3). f(0) ,

Нарушено третье условие непрерывности, ⟹ функция в точке 𝔁 = 0 не является непрерывной. y

•1

° 𝔁

4). y = .

1).D(y) = 𝔁 , f(0) = 0

2). = =

= = ⟹ = = 0,

3). f(0) = .

Выполнились все три условия непрерывности функции, ⟹ в точке 𝔁 =0 функция является непрерывной.

y

0 𝔁

Если условие непрерывности в точке 𝔁 = нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1) область непрерывности элементарных функций совпадает с ее областью определения;

2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка;

3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она неопределена.

Если функция y = f(𝔁) при 𝔁 = а имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти левый и правый пределы:

1) Если и конечные, то 𝔁 = а – точка разрыва I рода,

2). Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то 𝔁 = а – точка разрыва II рода.

Примеры: 1). y = ;

D(f) = 𝔁 , ⟹ 𝔁 =3 – точка разрыва.

= = , ⟹ 𝔁 =3 – точка разрыва II рода.

Дома: Освоение теоретического материала; Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике » стр.85 – 86, №56.

Дата добавления: 2015-08-13