Функция.

Функцией называется соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу 𝔁 соответствует единственный элемент y .

Символически функциональная зависимость между переменной y и переменной 𝔁 записывается с помощью равенства y = f(𝔁).

Множество X называют областью определения функции;

множество Y называют множеством значений функции;

𝔁 – независимая переменная (аргумент функции);

y – зависимая переменная(значение функции).

2) Свойства функции:

. Область определения и множество значений.

Областью определения D(f) называются все значения аргумента 𝔁, при которых функция существует.

При нахождении области определения надо помнить, что:

1) Многочлен существует при всех 𝔁

2) Дробь существует, когда знаменатель не равен нулю.

3)Корень четной степени существует, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е.

4)Логарифм существует когда подлогарифмическое выражение больше нуля.

Множеством значений функции Е(f) называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Пример: Найти область определения следующих функций:

а) f(𝑥) = .

Решение: 𝑥 𝑥

; ; ⟹

Ответ: D(f) =𝑥

б) f(𝑥) = .

Решение: 𝑥 𝑥

2𝑥 𝑥 . ⟹ 𝑥 .

Ответ: D(f) =𝑥 .

.Четность (нечетность), периодичность.

Функция называется четной, если для ∀𝔁, 𝔁 выполняется равенство

f( = f(𝔁).

Функция называется нечетной, если для ∀𝔁, 𝔁 выполняется равенство

f ( = f (𝔁).

Если не выполняется ни одно из равенств, то функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

График четной функции симметричен относительно оси Оy, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

При определении четности, необходимо выяснить симметрична ли область определения относительно нуля, т.е. для ∀𝔁 , 𝔁 .

Пример: Определить четность следующих функций:

1). f(𝔁) = 3 ,

D(f) = 𝔁 - симметрична относительно нуля.

∀𝔁, 𝔁

f( 𝔁) = 3 = + 2𝔁 ⟹ f(𝔁) -нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат.

2). f(𝔁) =

= 0

𝔁 =

D(f) = 𝔁 - симметрична относительно нуля.

∀𝔁, 𝔁

f( 𝔁) = = = f(𝔁), ⟹ f(𝔁) – четная функция, ее график симметричен относительно оси Оy.

3). f(𝔁) = ,

,

D(f) = 𝔁 - не симметрична относительно нуля, ⟹ f(𝔁) – общего вида.

Функция f(𝔁) называется периодической с периодом Т, если выполняется равенство f(𝔁 = f(𝔁 =f(𝔁).

Графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (𝑥; f(𝑥)), где 𝑥 пробегает область определения функции f.

3) – 4). Предел числовой последовательности. Раскрытие неопределенностей вида

Число a называется пределом числовой последовательности (, если при n⟶ сама последовательность стремится к числу a.

Пишут: = a.

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой последовательностью.

Последовательность, не имеющая предела, называется бесконечно большой.

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой:

1) Если - то (

2) Если - то (

= ; = 0;

Теоремы о пределах:

1). Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме(разности) пределов этих последовательностей, т.е. = ;

2). Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е. = ;

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3). Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей, т.е. = ;

4).Предел числа равен самому числу.

Пример: 1). = =

2). = = 0 = 6,

3). = = (т.к. первая бесконечность растет быстрее, чем вторая).

4). =( = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо каждый член последовательности разделить на старшую степень = = = = = 1,6.

5). = ( = = = = ,

Число b называется пределом функции f(x), если при х⟶ a сама функция стремится к числу b.

Свойства и теоремы, применяемые для нахождения пределов последовательностей, справедливы и для нахождения пределов функций.

Пример:

1). = 2 =

2). = = ;

3). = = получили неопределенность , чтобы ее раскрыть надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и выполнить сокращение. = = = 2,

4). = () = = = 3+ 3 = 6,

5). = = 3 = 0 2 =

D= 4 D = 1 8 = 9,

= = = = ,

= = = =

= = = = ;

6). = = если функция содержит корень, то числитель и знаменатель дроби надо умножить на сопряженное выражение = = = = 3

7). = = = =

= = = ;

8). = = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо, умножить и разделить на сопряженное выражение. После чего получим неопределенность вида = = =

= = = = = = = .

Дата добавления: 2015-08-13