Сложение колебаний

Цель работы: научиться складывать и вычитать электрические колебания одного направления, складывать взаимно перпендикулярные колебания и определять соотношение частот сигналов с помощью фигур Лиссажу; изучить условия возникновения биений.

Оборудование: генератор электрических колебаний звуковой частоты ГЗЧМ, осциллограф MOS-620, модуль МО3 лабораторного комплекса ЛКЭ-6

Введение

Сложение колебаний одного направления

Сложение двух колебаний одинаковой частоты

Положим, тело участвует одновременно в двух гармонических колебательных движениях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами и амплитудами. Участвуя в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, тело совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и составляющие колебания.

При этом величина амплитуды результирующего колебания зависит от сдвига фаз составляющих колебаний. Если сдвиг фаз между составляющими колебаниями равен нулю или кратен 2π, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний.

Если амплитуды составляющих колебаний равны, то амплитуда результирующего колебания в результате сложения колебаний удваивается. Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то в этом случае происходит увеличение энергии в четыре раза.

Если сдвиг фаз равен нечетному числу π, то амплитуда результирующего колебания равна модулю разности амплитуд составляющих колебаний. Колебания ослабляют друг друга.

Если амплитуды составляющих колебаний равны, то амплитуда результирующего колебания равна нулю. В этом случае тело остается в покое, колебания гасят друг друга.

При сдвиге фаз, равном нечетному числу π/2 энергия результирующего колебания равна сумме энергий составляющих колебаний.

На рис. 1 изображены графики составляющих и результирующего (утолщенная линия) колебаний для случаев сложения двух колебаний одного направления и одинаковой частоты с различными сдвигами фаз Δφ. Графики результирующих колебаний получены путем алгебраического суммирования смещения в составляющих колебаниях, соответствующих одному моменту времени.

Если составляющие гармонические колебания имеют одинаковые направления, но различные периоды, то результирующее колебание негармоническое. При сложении негармонических колебаний с разними периодами результирующее движение может быть в общем случае непериодическим.

Рисунок 1. Сложение когерентных колебаний

Для создания более сложных колебаний можно использовать приемы сложения и умножения колебаний. Например, на рис. 2 отображен процесс сложения высокочастотного и низкоамплитудного колебания и высокоамплитудного, низкочастотного колебания.

Сложение двух колебаний разной частоты

Рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода. Построим на диаграмме векторы а ₁ и а ₂ для начального момента времени (рис. 3) и для момента времени t. Как можно видеть из чертежа, угол между векторами а ₁ и а ₂ со временем меняется, так как угловые скорости вращения векторов различны. Значит, амплитуда результирующего колебания меняется со временем. Угловая скорость ее вращения непостоянная, и, следовательно, колебание происходит по закону, отличному от гармонического.

Рисунок 2. Сложение колебаний разных частот

Рисунок 3. Векторная диаграмма сложения колебаний

Пусть амплитуды колебаний одинаковы и начальные фазы равны:

а ₁ = а ₂ = а ₀ и φ₀₁ = φ₀₂ = φ₀.

Тогда

x = а ₀ cos(ω₁ t +φ₀) + а ₀ cos(ω₂ t +φ₀),

откуда

х = 2 а ₀ cos((ω₂ – ω₁) t /2)cos((ω₂ – ω₁) t /2 + φ).

Амплитуда результирующего колебания периодически изменяется по абсолютной величине. Период ее изменения:

T_a = 2π/((ω₂ – ω₁)/2).

Период изменения смещения:

T = 2π/((ω₂ + ω₁)/2).

Очевидно, Т_а > Т.

Биения

Если частота ω₂ мало отличается от ω₁, то возникает явление биений. Чтобы представить себе процесс возникновения биений, положим, что два колебания равной амплитуды и почти одной частоты в начальный момент совпадают по фазе. В этот момент колебания происходят с удвоенной амплитудой. Затем фазы колебаний медленно расходятся, и через некоторое время сдвиг фаз между колебаниями достигает величины π. В этот момент колебания гасят друг друга и амплитуда результирующего колебания равна нулю. Продолжая расти, сдвиг фаз достигает 2π, и амплитуда результирующего колебания опять оказывается равной удвоенной амплитуде составляющих колебаний. На рисунке 4 изображено возникновение биений, т. е. периодического изменения амплитуды при сложении двух колебаний близкой частоты. Если амплитуды составляющих колебаний не равны, то амплитуда результирующего колебания не спадает до нуля, а проходит при сдвиге фаз π через минимум.

В случае биений мы можем колебание

х = 2 а ₀cos((ω₂ – ω₁) t /2)cos((ω₂ – ω₁) t /2 + φ)

рассматривать как гармоническое, но происходящее с переменной амплитудой:

a = 2 а ₀cos((ω₂ – ω₁) t /2).

Частота биений равна полуразности частот составляющих колебаний. Кривая изменения амплитуды со временем представляет собой огибающую кривой 3 на рисунке 4.

Для демонстрации биений можно использовать электронный осциллограф, на вертикальные пластины которого подается напряжение от двух генераторов электрических колебаний. Если частоты электрических колебаний, посылаемых генераторами, слегка различаются, то на экране осциллографа возникает характерная картина биений.

Если складывается несколько колебаний одного направления, частоты которых кратны частоте наиболее медленного из них, то, очевидно, периоды всех колебаний укладываются целое число раз в периоде наиболее медленного колебания. Результирующее колебание имеет тот период, что и наиболее медленное, но форма его более сложная.

Рисунок 4. Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Колебания одинаковой частоты

Рассмотрим движение точки, участвующей одновременно в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны. Этот случай колебаний можно наблюдать на электронном осциллографе, если, создав переменное напряжение от одного генератора электрических колебаний на вертикальных пластинах, отключим генератор развертки с горизонтальных пластин (что возможно в подавляющем большинстве современных осциллографов) и подадим на них напряжение со второго генератора электрических колебаний. Пока генераторы не включены, электронный луч проходит по оси отклоняющих пластин и создает светящуюся точку в центре экрана. В этой точке мы поместим начало координат, а за оси возьмем горизонтальный (ось х) и вертикальный (ось у) диаметры (рис. 5). Включим генератор, соединенный с горизонтальными пластинами. Частота колебаний напряжения этого генератора ω. Светящаяся точка смещается по горизонтальной оси, совершая колебания по гармоническому закону:

x = а ₁ cos ω t.

Подключая генератор, дающий ту же частоту колебаний, к вертикальным пластинам при отключенных горизонтальных пластинах, мы заставим светящуюся точку смещаться по экрану в вертикальном направлении по закону:

y = a ₂ cos ω t.

Эти уравнения и представляют собой в сущности кинематические уравнения движения точки. Если мы из них исключим время, то получим уравнение траектории, по которой движется светящаяся точка, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

x / y = a ₁/ a _2,

или

x = ya ₁/ a ₂,

т. е. светящаяся точка движется по прямой, проходящей через положение равновесия (начало координат) и составляющей с осью х угол, тангенс которого определяется соотношением:

tg α = a ₁/ a ₂

Результирующее смещение, отсчитанное вдоль этой прямой:

s = (x ² + y ²)^1/2 =(a ²₁ + a ²₂)^1/2cos ω t = a cos ω t.

Длина отрезка, пробегаемого точкой, равна удвоенной амплитуде результирующего колебания:

2 a = 2(a ²₁ + a ²₂)^1/2.

Таким образом, точка, участвующая одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одной частоты при сдвиге фаз между ними, равном нулю, совершает гармоническое колебательное движение вдоль отрезка прямой, который служит диагональю прямоугольника, образованного отрезками прямых x = ± a ₁ и у = ± a ₂, отсекающих на осях х и у отрезки длиной 2 a ₁ и 2 a ₂.

Нетрудно показать, что при сдвиге фаз составляющих колебаний на π колебание светящейся точки происходит по другой диагонали прямоугольника.

Рассмотрим случай, когда составляющие колебания сдвинуты по фазе на π/2. Для определенности положим, что колебание вдоль оси х опережает по фазе колебание по оси у и отсчет времени производится от момента, когда светящаяся точка находится в начале координат:

x = a sin ω t.

Тогда в момент возникновения колебаний по оси х вдоль оси у смещения отсутствуют. Светящаяся точка получает смещение, равное а ₁, т. е. совершает четверть колебания и оказывается в крайнем правом положении, после этого она участвует уже в двух движениях, возвращаясь к положению равновесия по оси х и отклоняясь по оси у вверх. Колебания происходят по закону:

x = а sin(ω t + π/2) = a cos ω t, y = a sin ω t.

Рисунок 5. Сложение синфазных перпендикулярных колебаний

Траектория светящейся точки в этом случае окружность

x ² + y ² = a ²,

которую точка обходит против часовой стрелки. Если сдвиг фаз равен 3π/2, то траектория также окружность, но точка обегает ее по часовой стрелке (точка начинает двигаться вверх, находясь в крайнем левом положении). Если амплитуды колебаний x = а sin(ω t + π/2) = a cos ω t, y = a sin ω t не равны, то легко видеть, что точка движется по эллипсу:

x / a ₁ = cos ω t, y / a ₂ = sin ω t.

Исключая время, получим:

x ²/ a ²₁ + y ²/ a ²₂ = 1,

т. е. уравнение эллипса с осями, совпадающими по направлению с направлением составляющих колебаний. Полуоси эллипса равны а ₁ и а ₂ (рис. 6). Движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях равной частоты с разными амплитудами и сдвигом фаз в π/2, происходит по эллипсу полуосями а ₁ и а ₂, лежащими на направлениях составляющих колебаний. Эллипс вписан в прямоугольник, образованный отрезками прямых x = ± a ₁ и у = ± а ₂.

То же наблюдается при сдвиге фаз, равном 3π/2, но точка обегает эллипс в этом случае в противоположном направлении.

Рисунок 6. Сложение перпендикулярных колебаний со сдвигом фаз π/2

Для колебаний разной частоты

Если отношение амплитуд меняется, то эллипс деформируется, не меняя своего положения относительно направлений составляющих колебаний. Если меняется сдвиг фаз, то эллипс одновременно и деформируется и меняет свою ориентацию относительно указанных направлений (рис. 7). Если периоды составляющих взаимно перпендикулярных колебаний различаются на малую величину, то сдвиг фаз плавно меняется, принимая последовательно все возможные значения, и эллипс постепенно поворачивается и деформируется. Однако и при этом он остается вписанным в прямоугольник со сторонами 2 а ₁ и 2 а ₂.

Изменим частоту одного из генераторов заметным образом. Тогда колебания светящейся точки будут по-прежнему происходить во взаимно перпендикулярных направлениях, но сдвиг фаз будет сильно меняться в пределах одного периода, и мы получим сложную запутанную картину движения точки. Прямоугольник, в котором поворачивался эллипс, окажется сплошь заполненным траекториями светящейся точки.

Картина упрощается, если частоты (периоды) взаимно перпендикулярных колебаний кратны друг другу.

Пусть ω₁ = 2 ω₂ (рис. 7). По истечении одного периода колебания Т ₂ в направлении оси у точка должна вернуться в начальное положение, так как Т ₂ равно двум целым периодам колебания Т ₁, вдоль оси х. Поэтому траектория точки должна быть замкнутой кривой. Вместе с тем точка за время Т ₂ два раза достигает крайних положений + а ₁ и - а ₁ и один раз - а ₂ и + а ₂. Следовательно, она один раз коснется сторон прямоугольника, отстоящих от оси х на расстоянии а ₂, и дважды сторон, отстоящих от оси у на расстоянии а ₁.

Рисунок 7. Фигуры Лиссажу

Вид траекторий зависит от фаз составляющих колебаний, а число точек касания определяется отношением частот. Эти траектории называют фигурами Лиссажу, по имени французского ученого, их впервые наблюдавшего.

На рисунке 7 изображены фигуры Лиссажу для разного соотношения частот и разных сдвигов фаз.

Порядок выполнения работы

1. Соберите LC-генератор по схеме, показанной на рис. 8 на элементах модуля МО3 (рис. 12 в описании лабораторной работы № 1). Для этого с помощью проводов необходимо последовательно выполнить соединения контактов: 39 – 8, 4 – 31, 31 – 6, 1 – 34, 34 – 37, 44 – 57. Один из двух коаксиальных кабелей со штекерами подсоедините ко входу CH2 осциллографа, штекер черного провода противоположного конца – к контакту 57, штекер белого провода – к контакту 37.

Рисунок 8. Схема LC-генератора

К сведению, черный провод коаксиального кабеля осциллографа всегда подсоединяется к общему контакту электрической цепи, снабженному маркировкой «^».

2. Включите осциллограф, а также кнопку питания модуля МО3 (она находится на задней стенке комплекса, имеет зеленый цвет). На экране осциллографа должны появиться синусоидальные колебания, порожденные LC-генератором. Отсоедините штекер белого провода от контакта 37 и подсоедините к контакту 38. На экране осциллографа должны наблюдаться колебания прямоугольной формы. Верните штекер белого провода в гнездо 37. Проверьте влияние переменного резистора R2 на амплитуду выходного сигнала. Если при частоте 3,3 кГц синусоидальный сигнал обладает максимальной амплитудой приблизительно 2,2 В и минимальной амплитудой 0,2 В, то LC-генератор готов к проведению экспериментов.

3. С помощью резистора R2 установите амплитуду синусоидального сигнала, поступающего на вход CH2 осциллографа, равной 2 В. С помощью второго коаксиального кабеля подайте на вход CH1 осциллографа синусоидальный сигнал частотой 50 Гц и амплитудой 2 В с генератора ГЗЧМ. Помните, что говорилось выше о черном проводе!

4. Настройте осциллограф на двухканальный режим. Для этого в зоне VERTICAL установите переключатель MODE в положение DUAL. Используя в зоне TRIGGER регулятор LEVEL, получите устойчивое изображение двух сигналов.

5. Технические возможности осциллографа позволяют суммировать входные сигналы. Получите сумму колебаний, установив в зоне VERTICAL переключатель MODE в положение ADD. Наблюдая картину на экране осциллографа, убедитесь в том, что амплитуда результирующего сигнала (запишите ее значение) равна сумме амплитуд составляющих сигналов. Зарисуйте изображение.

6. Выключите питание модуля МО3 и генератора ГЗЧМ. Соберите схему для суммирования сигналов (резистивный сумматор) на плате модуля МО3 (рис. 9). Освободите канал СН1. Выходной сигнал с сумматора должен подаваться на вход CH2 осциллографа. Настройте осциллограф на соответствующий одноканальный режим. Вновь включите питание устройств.

Рисунок 9. Схема суммирования сигналов

7. На экране осциллографа должны наблюдаться суммарные колебания, возникающие в колебательном контуре при сложении сигналов с LC-генератора и генератора ГЗЧМ. Пронаблюдайте также каждый из сигналов в отдельности, отключая на время питание соответствующего генератора. В каждом случае измерьте амплитуду и частоту колебаний, зарисуйте осциллограммы.

8. Отключите питание всех устройств. Сравните результаты суммирования колебаний в осциллографе и в резистивном сумматоре. Запишите подробно ваши умозаключения.

9. В дополнение к существующей схеме резистивного сумматора соберите фильтр низкой частоты (рис. 10). При этом кабель осциллографа отсоедините от контактов 35 и 57 и подсоедините его соответственно к контактам 19 и 2. Вновь включите питание.

Рисунок 10. Фильтр низкой частоты на выходе суммированного сигнала

10. Пронаблюдайте действие низкочастотного фильтра на суммарные колебания. Определите амплитуды обоих сигналов в составе суммы, зарисуйте осциллограммы.

11. Отключите питание всех устройств. Разберите схему низкочастотного фильтра. Вместо него соберите фильтр высокой частоты (рис. 11). При этом кабель осциллографа вместо контактов 19 и 2 подсоедините соответственно к контактам 56 и 17. Опять включите питание.

12. Пронаблюдайте действие высокочастотного фильтра на суммарные колебания. Определите амплитуды обоих сигналов в составе суммы, зарисуйте осциллограммы.

13. Отключите питание всех устройств. Разберите фильтр и резистивный сумматор. Сравните действие низкочастотного и высокочастотного фильтров на суммарные колебания. Запишите подробно ваши умозаключения.

14. В соответствии с пунктами 1 – 6 подайте сигнал с LC-генератора на вход CH2, а сигнал с ГЗЧМ – на вход CH1, настроив осциллограф на суммирование колебаний в одном направлении. При этом условии амплитуды сигналов равны (по 2 В согласно пункту 3). Установите частоту ГЗЧМ близкой к частоте LC-генератора. На экране должны наблюдаться биения. Зарисуйте картинку.

Рисунок 11. Фильтр высокой частоты на выходе суммированного сигнала

15. Установите амплитуду ГЗЧМ (или LC-генератора) равной 1 В. Картинка на экране должна несколько измениться. Зарисуйте новую осциллограмму.

16. В каждом случае проверьте соотношения между максимальной А_макс и минимальной А_мин амплитудами биений и амплитудами А₁ и А₂ складываемых колебаний: А_макс = А₁ + А₂, А_мин = |А₁ – А₂|. Оцените погрешность соответствия.

17. Чтобы суммировать перпендикулярные колебания с наших генераторов, переведите в зоне HORIZONTAL ручку TIME/DIV в положение XY. Получите фигуры Лиссажу для соотношений частот 1:1, 1:2, 1:3, 2:1, 2:3. Зарисуйте их.

18. Переключите ГЗЧМ в режим пилообразного сигнала. Таким образом вы используете этот сигнал в качестве генератора развертки дляя сигнала с LC-генератора. Для получения неподвижного изображения приходится тщательно подбирать частоту сигнала развертки. Кроме того, могут наблюдаться два графика, соответствующие прямому и обратному ходу развертки. В современных осциллографах предусмотрены схемы синхронизации, автоматически подбирающие частоту развертки под частоту наблюдаемого сигнала и решающие таким образом проблему устойчивости изображения.

19. Выключите питание, уберите оборудование.

20. Подготовьте отчет по работе.

Контрольные вопросы

1. Чего следует ожидать при сложении двух колебаний одного направления и одинаковой частоты?
2. Чего следует ожидать при сложении двух колебаний одного направления и разных частот?
3. Что такое биения?
4. Что представляет собой результат сложения двух перпендикулярных колебаний одинаковой частоты?
5. Что представляет собой результат сложения двух перпендикулярных колебаний кратных частот?
6. Охарактеризуйте фигуры Лиссажу.

Литература

1. Калашников С. Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003, 624 с.
2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983, 463 с.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. III. Электричество. М.: Физматлит, 2002, 656 с.

Дата добавления: 2015-08-13