Вынужденные колебания

Цель работы: изучить особенности колебаний в последовательном и параллельном колебательных контурах, получить резонанс напряжений и резонанс токов.

Оборудование: генератор электрических колебаний звуковой частоты ГЗЧМ, осциллограф MOS-620, модуль МО3 лабораторного комплекса ЛКЭ-6, мультиметр М830В.

Введение

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением R, переменного тока. Под действием внешнего напряжения

U = U_m cosω t (1)

(оно играет роль внешней электродвижущей силы ξ – см. теоретическое введение к лабораторной работе № 3) ток в цепи изменяется по закону

I = I_m cos(ω t - φ),(2)

где

, . (3)

Полученное выражение для амплитуды силы тока I_т (ω) можно формально толковать как закон Ома для амплитуд­ных значений тока и напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину, имеющую размерность сопро­тивления, обозначают буквой Z и называют полным сопротивлением или импедансом:

. (4)

Величину, стоящую в круглых скобках формулы (4), обозначают X и называют реактивным сопротивлением. При этом величину ω L называют индуктивным сопротивлением, а величину 1/ω С – емкостным сопротивлением. Их обозначают соответственно X_L и X_C. Итак,

, , , (5)

Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты ω, а емкостное — уменьшается. Когда говорят, что в цепи отсутствует емкость, то это надо пони­мать в смысле отсутствия емкостного сопротивления, которое равно 1/ω С и, следовательно, обращается в нуль, если С → ∞ (при замене конденсатора закороченным участком).

Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное, между ними существует принципиальное различие. Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

При вынужденных колебаниях в контуре может иметь место резонанс. Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз напряжения и тока равна нулю. Резонансу сопутствует ряд особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.

Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений, резонанс токов, резонанс в магнитно-связанных цепях и другие.

Резонанс напряжений

Он возможен на участке цепи с последовательным соединением элементов R, L и C, то есть в последовательном колебательном контуре. Активное сопротивление может быть как сопротивлением специально включенного резистора, так и сопротивлением проводов катушки индуктивности.

Из определения следует, что угол сдвига фаз при резонансе равен нулю. Такой угол сдвига фаз можно получить тремя способами: изменением частоты ω напряжения питания, изменением индуктивности или емкости, однако в любом случае явления в цепи при резонансе одинаковые.

При φ = 0 из (3) следует, что X_L = X_C. При учете (5) при резонансе , где ω₀ – собственная частота колебательного контура, которую мы будем называть также резонансной частотой.

Сопротивление реактивного элемента при резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением колебательного контура:

. (6)

Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура называется добротностью последовательного контура

Q = ρ/ R. (7)

При резонансе напряжений полное сопротивление участка цепи активное:

(8)

и минимально при заданном R. Ток максимален. Это свойство позволяет обнаружить резонанс напряжений при изменении ω, L или C. Однако резонансный ток при определенных условиях опасен – он может привести к перегреву элементов цепи и выводу их из строя.

Напряжения на отдельных участках контура:

U_R = R I_рез, U_L = X_L I_рез, U_C = X_C I_рез. (9)

Так как при резонансе X_L = X_C, то напряжения на участках контура с реактивными элементами равны (U_L = U_C), напряжение на участке с активным элементом равно напряжению питания на выводах контура и совпадает с ним по фазе: U_R = U.

Если X_L = X_C > R, то U_L = U_C > U_R = U, то есть напряжение на участках с реактивными элементами больше, чем напряжение питания. Это свойство – усиление напряжения – является важнейшей особенностью резонанса напряжений и широко используется в технике. Коэффициент усиления напряжения равен добротности контура

Вместе с тем значительное повышение напряжения на реактивных элементах при резонансе может привести к пробою изоляции и опасно для обслуживающего персонала.

Активная мощность при резонансе максимальна, так как U_R = R , а ток I_рез максимален. Реактивные мощности равны, так как . Равны, но противоположны по знаку мгновенные реактивные мощности: , . Это значит, что в те интервалы времени, в течение которых энергия накапливается в магнитном поле индуктивного элемента, она поступает из электрического поля емкостного элемента. Происходит обмен энергией между реактивными элементами контура. Источник питания в этом обмене не участвует.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает при вынужденных колебаниях в разветвленной цепи, в которой одна из ветвей содержит конденсатор емкостью С, а другая – катушку индуктивности L. Катушка индуктивности всегда обладает активным сопротивлением R. Такая цепь представляет собой параллельный колебательный контур (рис. 1). Источник выдает переменное синусоидальное напряжение: U = U ₀ sinω t. Суммарная сила тока I равна: I = I_L + I_C.

Для этой цепи векторная диаграмма токов представлена на рис.2. На рисунке колебания вынуждающего напряжения изображаются вектором U, направленным вдоль оси напряжений. Тогда колебания тока в ветви, содержащей индуктивность L, изобразятся вектором I _{0 L} . Его длина, соответствующая амплитуде тока, находится из общего выражения для амплитуды тока при вынужденных колебаниях:

, (11)

в котором нужно положить С = ∞, так как емкостное сопротивление в этой ветви отсутствует.

Рисунок 1. Параллельный контур

Рисунок 2. Векторная диаграмма токов

Таким образом,

, (12)

где R – активное сопротивление катушки индуктивности. Этот вектор повернут относительно оси напряжений на угол φ _L в отрицательном направлении, так как ток в катушке отстает по фазе от напряжения. Этот фазовый угол определяется формулой:

. (13)

Колебания тока в конденсаторе изображаются вектором I _{0 L} , повернутым

относительно оси напряжений на угол +π/2, так как колебания тока в цепи, содержащей емкость, опережают напряжение на емкости на угол +π/2. Его длина, соответствующая амплитуде тока, находится из выражения (1) при L = R = 0: I _{0 C} = U ₀ω C.

Колебания суммарного тока определяются векторной суммой векторов I _{0 L} и I _{0 C} , т. е. вектором I ₀. Его длина есть амплитуда суммарного тока, а угол φ, образованный этим вектором с осью напряжений, – это угол, на который колебания тока опережают по фазе колебания напряжения. Таким образом, колебания полного тока выражаются формулой:

I = I ₀ sin(ω t +φ). (14)

Если в цепи, изображенной на рис. 1, изменять L или С, или частоту генератора ω, то изменяется амплитуда суммарного тока и сдвиг фаз между током и напряжением. При некотором соотношении между L, С и ω сдвиг фаз становится равным нулю, и, следовательно, контур ведет себя как чисто активное сопротивление. Этот частный случай вынужденных колебаний в

разветвленной цепи соответствует режиму резонанса токов. Термин «резонанс токов» здесь используется потому, что, когда собственная частота свободных колебаний колебательного контура становится равной частоте вынужденных колебаний, величины токов I_L и I_C внутри контура значительно превышают величину суммарного тока, возбуждающего контур. Векторная диаграмма токов, соответствующая резонансу, показана на рис. 3.

Обычно в катушке индуктивности ω L >> R и угол φ _L очень близок к –π/2. Так как ток I_C в другой ветви опережает напряжение на угол +π/2, то оба тока, I_L и I_C, обладают разностью фаз, близкой к π, т.е. находятся в противофазах. Поэтому суммарный ток I ₀ равен приблизительно разности токов I_L и I_C. При резонансе суммарный ток I ₀ становится наименьшим (сравните рис. 2 и 3), и, следовательно, сопротивление контура достигает наибольшего значения. Это сопротивление, однако, не равно активному сопротивлению R, включенному в контур, а зависит от L и С. Если бы сопротивление R было равно нулю, то разность фаз между токами I_L и I_C была бы точно равна π и оба тока при резонансе точно компенсировали бы друг друга. В этом случае ток I в подводящих проводах был бы равен нулю, хотя каждый из токов I_L и I_C мог бы иметь большие значения. Сопротивление контура при резонансе было бы равно бесконечности.

Рисунок 3. Векторная диаграмма токов при резонансе

Найдем условие, при котором наступает резонанс токов. Из рис. 3 видно, что при резонансе

I _{0 C} = I _{0 L} sinφ _L. (15)

Но из (3) следует, что и

(так как и ).

Подставляя (12) и (14) в (15) и считая, что ω² L ² >> R ², находим условие резонанса токов:

, (16)

где ω₀ – собственная частота контура. Таким образом, при резонансе токов частота колебаний ω внешнего напряжения должна совпадать с частотой ω₀ собственных колебаний контура в отсутствие затухания.

Найдем амплитуду I ₀ суммарного тока при резонансе. Из рис. 3 следует, что:

I ₀= I _{0 L} cosφ _L. (17)

По-прежнему, считая ω² L ² >> R ², имеем:

. (18)

Поэтому при резонансе резонансное сопротивление контура

. (19)

Если R →0, то R _рез→∞.

Отношение резонансного сопротивления R _рез контура к его активному сопротивлению R равно квадрату добротности контура Q. Из (19) получаем:

(так как ).

Так как на радиочастотах легко добиться добротности контура порядка 10², то отношение R _рез/ R можно сделать порядка 10² и выше. Таким образом, для переменного тока с частотой ω₀ (точнее, для узкой полосы частот вблизи ω₀, тем более узкой, чем выше добротность контура) колебательный контур представляет большое сопротивление, тогда как для всех других частот его сопротивление мало. Это позволяет использовать резонанс токов для выделения одного определенного колебания из сигнала сложной формы, что широко используется в практике (резонансные усилители, радиоприемники). Поскольку при резонансе токов силу токов в обеих ветвях контура можно сделать намного больше силы тока в подводящих проводах, то это явление используют при устройстве индукционных печей, в которых нагревание металлов производится вихревыми токами, при питании электромагнитов ускорителей заряженных частиц, а также в других устройствах.

И еще. Реактивные мощности на индуктивности и емкости равны друг другу. Это означает, что, как и при резонансе напряжений, между катушкой и конденсатором происходит обмен энергией, но источник питания в этом обмене не участвует: источник только восполняет потери в активных сопротивлениях контура.

Порядок выполнения работы

1. Соберите последовательный колебательный контур согласно схеме на рис. 4. Здесь V 1 – мультиметр М830В в режиме вольтметра, R3 – 10 Ом, С 7 – 0,1 мФ, L – 4,64 мГн (активное сопротивление катушки – 8,4 Ом).
2. Установите мультиметр М830В на измерение переменного напряжения (АСV) – режим 200В. Включите ГЗЧМ, установите синусоидальное выходное напряжение по вольтметру 0,2 – 0,5 В частотой 1 кГц. Включите осциллограф, дайте аппаратуре прогреться 1 – 2 мин.

Рисунок 4. Последовательный контур

1. Увеличивая частоту генератора через 1 кГц до 12 кГц, фиксируйте с помощью осциллографа и заносите в таблицу напряжение каждой частоты на резисторе R 3 и на конденсаторе С 7.
2. Напряжение на вольтметре в процессе измерений должно оставаться постоянным. Запишите его значение.
3. Постройте в одной системе координат графики зависимости U_C (ν) и U_R (ν).
4. Определите по графикам резонансную частоту.
5. Рассчитайте собственную частоту колебательного контура и сравните ее с экспериментально определенной резонансной частотой.
6. Найдите силу тока при резонансе – отношение напряжения на сопротивлении R 3 к сопротивлению R 3.
7. Запишите собственные умозаключения о соотношении при резонансе между суммарным напряжением на активных сопротивлениях (напряжение на сопротивлении R 3 плюс произведение силы тока на активное сопротивление катушки) и входным напряжением (отображаемым на вольтметре).
8. Запишите собственные умозаключения о соотношении между входным напряжением и напряжением на конденсаторе.
9. Подсчитайте характеристическое сопротивление и определите добротность контура, пользуясь формулами (6), (7). Помните, что активное сопротивление контура слагается из сопротивления резистора R 3 и активного сопротивления катушки (сопротивлением проводов пренебрегаем).
10. Соберите параллельный колебательный контур согласно схеме на рис. 5. Здесь V – мультиметр М830В в режиме вольтметра, R 5 – 910 Ом, R 1 – 1 Ом, R 6 – 3 Ом, С 7 – 0,1 мФ, L – 4,64 мГн (активное сопротивление катушки – 8,4 Ом). Напряжение на резисторе R 5 пропорционально общему току I, напряжение на резисторе R 1 пропорционально току I_L, напряжение на резисторе R 6 пропорционально току I_С.

Рисунок 5. Параллельный контур

1. Увеличивая частоту генератора с 1 кГц до 12 кГц через 1 кГц, фиксируйте с помощью осциллографа и вольтметра и заносите в таблицу напряжение каждой частоты на резисторах.
2. По напряжениям рассчитайте соответствующие токи. Занесите их в таблицу.
3. Постройте в одной системе координат графики зависимости I (ν), I_C (ν) и I_L (ν).
4. Определите по графикам резонансную частоту.
5. Сравните собственную частоту колебательного контура с экспериментально определенной резонансной частотой.
6. Проанализируйте графики на частотах ниже и выше резонансной. Результат анализа в виде качественных рассуждений отразите в отчете. Запишите собственные умозаключения о соотношении при резонансе между токами, текущими через индуктивность и емкость.
7. Запишите собственные умозаключения о соотношении между токами в ветвях параллельного контура и общим током.
8. Коэффициент усиления по току при R ₁ = R ₂ << X_L = X_C равен добротности контура: Определите добротность.
9. Разберите схему, выключите питание, уберите оборудование.
10. Подготовьте отчет по работе.

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие вынужденных колебаний.
2. Охарактеризуйте реактивное и активное сопротивления.
3. Что общего у последовательного и параллельного колебательных контуров?
4. В чем разница последовательного и параллельного колебательных контуров?
5. Что такое резонанс?
6. Расскажите о резонансе напряжений.
7. Расскажите о резонансе токов.
8. Как связаны характеристическое сопротивление и добротность контура?
9. Отобразите векторные диаграммы напряжений и токов.
10. При каких обстоятельствах имеет место усиление напряжения?
11. При каких обстоятельствах имеет место усиление токов?

Литература

1. Калашников С. Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003, 624 с.
2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983, 463 с.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. III. Электричество. М.: Физматлит, 2002, 656 с.

Дата добавления: 2015-08-13