Свободные затухающие колебания

Цель работы: с помощью прямоугольных импульсов получить в колебательном контуре затухающие колебания и визуализировать их на экране осциллографа, получить фазовые кривые затухающих колебаний, научиться определять характеристики затухания.

Оборудование: генератор электрических колебаний звуковой частоты ГЗЧМ, осциллограф MOS-620, модуль МО3 лабораторного комплекса ЛКЭ-6

Введение

Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазистационарным). Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Далее мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 1). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума. С этого момента ток, не меняя направ­ления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обрат­ном направлении и т. д. — процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводников R ≠ 0, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.

Рисунок 1. Идеальный колебательный контур

Рисунок 2. Реальный колебательный контур

Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э. д. с. ξ (рис.2).

Прежде всего, выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется как

. (1)

Следовательно, если I > 0, то и dq > 0, и наоборот (знак I совпадает со знаком dq).

Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2

, (2)

где ξ_s – э. д. с. самоиндукции. В нашем случае ξ_s = – LdI/dt и φ ₂– φ _{1 =} q/C (знак q должен совпадать со знаком разности φ ₂– φ ₁ ибо C > 0). Поэтому уравнение (2) можно переписать в виде

(3)

или с учетом (1) и после деления на L как

. (4)

Это есть уравнение колебательного контура – линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найдя с помощью этого уравнения q (t), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как U _c = φ ₂ – φ ₁ = q/C и силу тока I по формуле (1).

Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:

, (5)

где введены обозначения

2β = R/L, . (6)

Величину ω₀ называют собственной частотой контура, β – коэффициентом затухания, с^-1.

Если в контуре нет внешней э. д. с. ξ и активного сопротивления, то контур считается идеальным и колебания в таком контуре являются свободными незатухающими. Их уравнение – частный случай уравнения (5), когда ξ = 0 и R = 0:

. (7)

Решением этого уравнения является функция

q = q _mcos (ω₀ t+ α), (8)

где q _m— амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ω₀ — собственная частота контура; α — начальная фаза. Значение ω₀ определяется только свойствами самого контура, значения же q _m и α — начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда q и тока I = в момент t = 0.

Согласно (6) , поэтому период свободных незатухающих колебаний

(9)

(формула Томсона).

Найдя ток I (дифференцируя уравнение (8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. В реальном контуре свободные колебания будут затухающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (5) ξ = 0. Тогда

. (10)

Рисунок 3. Затухающие колебания

При решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид

(11)

где

, (12)

a q _mи α – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (11) показан на рис. 3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания.

Величину T = 2π/ω называют тем не менее периодом затухающих колебаний:

. (13)

где T ₀ – период свободных незатухающих колебаний.

Множитель в (11) называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость ее от времени показана пунктиром на рис. 3. Зная q (t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе

. (14)

Ток в контуре

.

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение , а затем введем угол δ по формулам

–β/ω₀ = cos δ, ω/ω₀= sin δ. (15)

После этого выражение для I примет вид:

. (16)

Из (15) следует, что угол δ находится во второй четверти (π/2 < δ < π). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение (14) на конденсаторе более чем на π/2.

Графики зависимостей U_c (t) и I (t) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 3 для q (t).

Величины, характеризирующие затухание.

1. Коэффициент затухания β и время релаксации τ – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (11) нетрудно видеть, что

τ = 1 / β. (17)

2. Логарифмический декремент зату­хания λ. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т:

, (18)

где а – амплитуда соответствующей величины (q, U, I).

Или иначе:

, (19)

где N_e – число колебаний за время τ, т.е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Это легко получить из формулы (17) и (18).

Если затухание мало (β² >> ω²), то ω и согласно (18)

. (20)

3. Добротность Q колебательного контура. По определению

, (21)

где λ – логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (β² << ω²) согласно (20) добротность

. (22)

И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затухания

, (23)

где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период колебания Т. В самом деле, энергия W пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, . Отсюда относительное уменьшение энергии за период δ W/W = 2β T = 2λ. Остается учесть согласно (21), что λ = π/ Q.

В заключение отметим, что при β² >> ω² вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

. (24)

В ряде случаев удобно изучать колебательные процессы в системе координат . Плоскость таких координат называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью, а кривая, изображающая зависимость этих координат – фазовой кривой (фазовой траекторией). В механике такими координатами являются перемещение и скорость, а для электромагнитных колебаний в контуре – заряд и сила тока. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду. Поэтому зависимость силы тока в колебательном контуре от напряжения на конденсаторе является фазовой кривой.

Таким образом, фазовая кривая представляет собой результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты с постоянными взаимосвязанными амплитудами – эллипс (см. введение к лабораторной работе № 3). В случае затухающих колебаний полуоси эллипса (амплитуды колебаний) монотонно уменьшаются со временем и фазовая траектория получается незамкнутой – имеет вид спирали (рис. 4).

Рисунок 4. Фазовая кривая

В данной лабораторной работе затухающие колебания будут изучаться на основе прямоугольного импульса. Прямоугольный импульс состоит из чередующихся мгновенных возмущений и полупериодных постоянных составляющих. После каждого возмущения на вынужденные колебания накладываются свободные затухающие гармонические колебания. Они-то нас и интересуют. Для напряжения на конденсаторе точкой равновесия в каждом полупериоде является значение постоянной составляющей вынуждающего напряжения. Здесь релаксация свободных колебаний наблюдается, чередуясь, то сверху, то снизу. Но конденсатор является разрывом цепи постоянного тока, поэтому постоянные составляющие прямоугольных импульсов не вызывают тока через резистор с соответствующим отсутствием напряжения.

Поэтому резистор реагирует только на мгновенные возмущения, то есть на нем имеют место только свободные релаксирующие колебания. При этом затухающие гармонические импульсы следуют друг за другом каждые полпериода вдоль одной – нулевой – линии. Затухающие колебания хорошо просматриваются, если подобрать частоту прямоугольных импульсов таким образом, чтобы время релаксации гармоник составляло три четверти полупериода.

Если рассматривать фазовую кривую затухающих колебаний на основе прямоугольного вынуждающего импульса в последовательном колебательном контуре, то в рамках периода прямоугольного импульса вместо одной спирали будут наблюдаться две – одна на подъеме импульса, а другая на спаде, причем в соответствии с механизмом формирования импульса и обстоятельствами протекания релаксационного процесса конец одной спирали будет совпадать с началом другой.

Порядок выполнения работы

16. Соберите последовательный колебательный контур по схеме на рисунке 5. На ГЗЧМ установите симметричный прямоугольный сигнал частотой 300 Гц и амплитудой 2 В. Осциллограф настройте на двухканальный режим. Для этого в зоне VERTICAL установите переключатель MODE в положение DUAL.

17. Включите осциллограф и ГЗЧМ. На экране осциллографа должны появиться две цепочки затухающих синусоидальных колебаний, происходящих на конденсаторе и на резисторе. Ориентируясь на сигнал с резистора, подберите частоту ГЗЧМ таким образом, чтобы затухание свободных составляющих было хорошо видно. Ну и чтобы затухание было визуально полным в пределах полупериода.

18. Зарисуйте картину затухающих колебаний с отображением масштаба по осям координат.

19. Измерьте по шкале осциллографа величину двух произвольных соседних амплитуд, найдите натуральный логарифм отношения большей амплитуды к меньшей. Это логарифмический декремент затухания. Оцените погрешность измерения.

20. Чтобы получить фазовые кривые, переведите в зоне HORIZONTAL ручку TIME/DIV в положение XY. Подстройте осциллограф для наилучшего наблюдения двух связанных спиралей. Выделите на экране одну из них.

21. Зарисуйте спираль с отображением масштаба по осям координат.

22. Определите величину радиусов (амплитуд) двух соседних витков вдоль одной линии выделенной спирали. Найдите натуральный логарифм отношения большего радиуса к меньшему. Это также логарифмический декремент затухания. Оцените погрешность измерения.

Рисунок 5. Последовательный колебательный контур

23. Учитывая, что индуктивность соленоида L = 4,64 мГн, емкость конденсатора С 7 = 0,1 мкФ, суммарное активное сопротивление соленоида и резистора R 3 = 18,4 Ом, найдите критическое сопротивление по формуле (24) и логарифмический декремент затухания по формуле (20).

24. Усредните три полученных результата по логарифмическому декременту затухания, найдите абсолютную и относительную погрешность усреднения. Укладывается ли итоговое значение в диапазоны, рассчитанные для п. 3 и п. 5?

25. Разберите схему, выключите питание, уберите оборудование.

26. Подготовьте отчет по работе.

Контрольные вопросы

1. Начертите схему колебательного контура для затухающих колебаний и обозначьте входящие в него элементы.
2. Начертите график затухающих колебаний и дайте определение декремента затухающих колебаний, логарифмического декремента затухания.
3. Поясните физический смысл добротности контура.
4. Напишите закон изменения амплитуды затухающих колебаний со временем и начертите график этой зависимости.
5. Являются ли затухающие колебания гармоническими?
6. Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и пояснить смысл каждого слагаемого в уравнениях.
7. Как будет меняться характер колебаний при увеличении активного сопротивления контура? Анализ подтвердите расчетом.
8. Как изменится частота колебаний контура, если в его катушку ввести железный (медный) сердечник? если увеличить расстояние между пластинами конденсатора?
9. Могут ли существовать колебания в контуре при R 0? При L 0?
10. Покажите, что при малом затухании (b << ω₀) добротность определяется выражением Q ω₀ L / R = ω₀/2b.
11. Покажите, что при малом затухании Q R _кр/2 R.
12. Какова энергия конденсатора в колебательном контуре в моменты максимумов тока в катушке в случае, когда сопротивление ничтожно мало?

Литература

1. Калашников С. Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003, 624 с.
2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983, 463 с.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. III. Электричество. М.: Физматлит, 2002, 656 с.

Дата добавления: 2015-08-13