Это решение можно получить двумя способами.

1. Поскольку известно точное решение, то можно воспользоваться вторым замечательным пределом: . Выберем = – 100 h, тогда получим

2. Можно воспользоваться общими формулами решения разностных уравнений (см. пункт «Разностные уравнения»). Здесь m=1, = (1 - 100h), =100h. Характеристическое уравнение . Отсюда и следует решение (13.4). Частное решение уравнения (13.3) с правой частью имеет вид .

Предположим для определенности, что =2. Тогда точные решения (13.2) и (13.24) примут вид

(13.5)

Функция y(x) очень быстро убывает от =2 до своего предельного значения 1. Так, например, . Поэтому на начальном

этапе мы, естественно, ожидаем, что для точного вычисления решения потре­буется считать с малым шагом h< 0,001. Однако после, скажем, x=0,1 решение изменяется медленно и, по существу, равно 1. Так что интуитивно кажется, что метод Эйлера должен дать достаточную точность при сравнительно большом шаге h. Однако из (13.5) видно, что если h > 0,02, то и значения с увеличением номера шага начинают быстро расти, свидетельствуя о неустойчивости. Если сравнить точные решения (13.4) и (13.5), то видно, что частные решения уравнений (13.1) и (13.3) тождественно совпадают (и равны 1). Величина служит аппроксимацией экспоненциального члена и действительно является хорошим приближением при малых h, но это приближение быстро становится неудовлетворительным, когда h достигает значения 0,02. И хотя этот экспоненциальный член после х = 0,1 фактические не вносит никакого вклада в решение, для сохранения устойчивости метод Эйлера по-прежнему требует, чтобы это слагаемое аппроксимировалось достаточно точно. Эта ситуация характерна для жестких уравнений: решение содержит слагаемое, вклад которого очень мал, однако обычные методы для сохранения устойчивости требуют, чтобы это слагаемое аппроксимировалось достаточно точно. (Эта фраза фактически повторена дважды, со слабой надеждой, что Вы ее поймете и запомните.) Эта проблема очень часто возникает при решении систем уравнений. Рассмотрим, например, уравнение второго порядка:

. (13.6)

Общее решение (13.6) имеет вид . Так что решением,

удовлетворяющим начальным условиям y(0) = 1,01, y’(0) = - 2, является функция

. (13.7)

После того как х достигнет значения порядка 0,1, вклад первого члена в решение будет очень мал. Если, тем не менее, применить к соответствующему уравнению (13.6) системы первого порядка метод Эйлера, то мы столк­немся с той же самой проблемой, что и в предыдущем примере. Придется выбрать шаг достаточно малым, чтобы точно аппроксимировать член , несмотря на то, что его вклад в решение очень мал.

Дата добавления: 2015-08-13