Для любого одношагового метода (10.21) определим локальную ошибку дискретизации аналогично методу Эйлера соотношением

(10.22)

где, как и раньше y(x) - точное решение дифференциального уравнения.

Если для данной функции φ окажется, что L(h) = o(h^p) при некотором целом p, то при соответствующих предположениях относительно функций φ и f можно показать, что глобальная ошибка дискретизации будет также порядка р по h, т.е.

. (10.23)

Порядок метода (10.20) определяется как целое р, для которого L(h) = О(). Такое определение порядка является некоторым утверждением о свойствах самого метода. При этом предполагается, что решение дифференциального уравнения у имеет ограниченные производные до определенного порядка. Например, для метода Эйлера мы показали, что р=1 в предположении (10.10). Как будет продемонстрировано ниже, для других методов может потребоваться ограниченность производных решения и функции f более высокого порядка.

Сравнительно несложно показать, что локальная ошибка дискретизации модифицированного метода Эйлера есть О(h²), но мы получим это как следствие более общего анализа, который служит основанием для методов Рунге-Кутта.

Студент: Можно этому факту дать геометрическую интерпритацию?

Дата добавления: 2015-08-13