Крутое восхождение по поверхности отклика

Для чего применяется движение по градиенту? Рассмотрим схему, где изображены кривые равного выхода поверхности отклика для двух независимых переменных (линии/поверхности уровня). Собственно поверхность отклика имеет вид “холма” с вершиной. Если пытаться попасть к вершине (т.е. найти оптимум!) методом однофакторного эксперимента, то сначала необходимо, фиксировав один фактор, менять другой до тех пор, пока увеличивается выход. Затем аналогично осуществляем движение по второму фактору. При большом количестве факторов решение будет достаточно сложным и продолжительным. Наиболее короткий путь – определение градиента функции отклика. При реализации метода крутого восхождения движение к оптимальной области осуществляется в направлении градиента функции отклика, а именно, в направлении вектора

,

где - единичные векторы осей для независимых переменных.

Метод крутого восхождения осуществляется поэтапно. Сначала проводят полный факторный или дробный эксперимент в окрестности исходной точки. После статистической обработки экспериментальных данных вычисляются коэффициенты регрессии линейной модели. Далее с учётом величины и знака коэффициентов регрессии рассчитывают несколько, так называемых мысленных опытов. Движение осуществляется изменением факторов пропорционально величине коэффициентов уравнения регрессии в ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. Движение к оптимуму осуществляется по наиболее крутому пути, что и дало название методу.

Движение по градиенту для одномерного поиска показано на фиг.3.3. Коэффициент регрессии численно равен тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора ( соответствует частной производной функции отклика по данному фактору). Катет АС в треугольнике АВС есть не что иное как интервал варьирования фактора. Отрезок АВ указывает направление движения к оптимальной области. Величина шага изменяется путём деления или умножения его на положительное число Это соответствует перемещению точки по градиенту без изменения направления движения к оптимальной области.

Характер движения к оптимальной области при двумерном поиске показан на фиг.3.4.

X₂

X₁

X₂₁

X₁₁

X₂₂

X₁₂

X₂₃

X₁₃

Фиг.3.4. Движение к оптимальной области при двумерном поиске.

J

X₁

A

B

C

n

l₁

X₁₁

X₁₂

X₁₃

J₃

J₂

J₁

Фиг.3.3. Схема одномерного поиска при движении по градиенту.

При определёнии значений факторов для мысленных опытов к основному уровню в направлении градиента прибавляются величины с некоторым шагом, величина которого определяет скорость поиска. При малом шаге поиск ведётся медленно; чрезмерное увеличения его приводит к "проскакиванию" оптимальной области. На практике величину шага выбирают так, чтобы в области факторного пространства можно было сделать 5-10 шагов. При этом шаг в 2-3 раза должен превышать ошибки измерения данного фактора. Во всяком случае, аналогично выбору интервалов варьирования, нижняя граница задается исходя из возможности фиксирования двух факторов, а верхняя связана с областью определения факторов. Величина шага варьирования каждого фактора при крутом восхождении пропорциональна значению коэффициента регрессии; чем больше этот коэффициент, тем большее влияние оказывает фактор. В связи с этим шаг изменения фактора берут пропорционально произведению коэффициента

регрессии на интервал варьирования. Новые значения факторов подставляют в уравнение регрессии и вычисляют ожидаемые значения функции отклика. Далее реализуют опыты с наибольшим значением функции отклика. При этом используются раскодированные значения факторов.

Качественные факторы при движении к оптимуму фиксируют на лучшем уровне. Незначимые факторы стабилизируют на любом уровне - чаще на нулевом, иногда на нижнем. В движении по градиенту эти факторы не участвуют.

Иногда имеет смысл оценить ожидаемы значения параметра оптимизации в мысленных опытах. Число мысленных опытов зависит о задачи. Ограничением сверху служит область определения хотя бы по одному из факторов (в нашем случае это фактор ). Как реализовать мысленные опыты? Если модель адекватна, то реализацию начинают с опытов, условия которых выходят за область определения хотя бы по одному из факторов. Для неадекватной модели один-два опыта проводят в области эксперимента.

Иногда после каждого опыта проводится анализ результатов и принимается решение относительно хода эксперимента. В другом варианте ставятся одновременно два-три опыта и принимается решение. Иногда при выборе порядка реализации мысленных опытов применяют метод "ножниц": выполняют два крайних опыта, а затем "прощупывается" пространство внутри интервала.

Дата добавления: 2015-08-10