Случайные величины и их числовые характеристики

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытаний может принимать то или иное значение в границах определённого интервала. Например, действительный размер заготовки под обработку давлением является случайной величиной, так как в процессе её изготовления действует множество случайных факторов.

Дискретными случайными величинами называются такие, которые принимают отдельные, большей частью целочисленные значения. Например, количество заготовок есть дискретная случайная величина.

Непрерывной случайной величиной называется такая, которая может принимать любые численные значения из непрерывного ряда возможных значений. Таким образом, действительные размеры заготовки являются непрерывными случайными величинами. Они могут быть заданы в виде функции.

Для количественной оценки случайных величин пользуются числовыми характеристиками. К числовым характеристикам, определяющим положение центра группировки, относятся: среднее арифметическое, медиана и мода; к характеристикам, определяющим меру рассеяния - дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Введём числовые характеристики случайной величины для рядов с малым числом наблюдений.

Пусть, например, при измерении значения предела текучести алюминиевых прутков, изготовленных в одинаковых условиях (на одном оборудовании и по одной технологии), были получены следующие результаты: 177, 174, 178, 176, 175, 175, 173, 171, 167, 177 [MПa], что в сумме составляет 1743. Требуется дать количественные характеристики приведенной случайной величины.

Формулы для расчёта числовых характеристик случайных величин приведены в табл. 2.1.

Основными статистическими характеристиками, отражающими среднее положение наблюдаемых значений в ряду, являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Для расчёта медианы (Ме) все измерения располагаются в возрастающий (или убывающий) ряд, после чего в качестве медианы выбирается значение величины, занимающей срединное положение в ряду. При чётном числе измерений медианой будет средняя арифметическая двух значений, расположенных в центре ряда.

Модой (Мо) называется такое значение случайной величины, которое наблюдается наиболее часто.

За меру рассеяния принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений случайных величин от математического ожидания (среднего арифметического при (n)), делённую на количество наблюдений. Эта мера называется дисперсией.

Если дисперсия вычисляется при большом числе наблюдений (n), то она называется генеральной.

Таблица 2.1

Основные статистические характеристики

№	Название характеристики	Расчётная формула
	Средняя арифметическая из n измерений
	Дисперсия генеральная	D(x) =
	Дисперсия выборочная (f=n-1 - число степеней свободы; n - число наблюдений)
	Среднее квадратичное отклонение
	Исправленное среднее квадратичное отклонение
	Коэффициент вариации
	Размах

При конечном числе наблюдений дисперсия характеризует разброс значений случайных величин относительно их среднего арифметического. Такая дисперсия s² называется выборочной.

Вместо дисперсии часто применяют среднее квадратичное отклонение . Оно, в отличие от дисперсии, имеет ту же размерность, что и средняя арифметическая.

Процентное отношение исправленного среднего квадратичного отклонения к средней арифметической называется коэффициентом вариации v. Коэффициент вариации показывает колебание отдельных значений случайной величины около средней арифметической.

Следует ожидать, что дисперсия больших величин будет больше дисперсии малых величин. Коэффициент вариации исключает это влияние. Будучи безразмерным, он удобен для сравнений.

Простейшей мерой рассеяния является размах .

Метод симплекс-планирования

Симплекс - это выпуклая геометрическая фигура с числом вершин на единицу больше, чем число факторов. На плоскости симплекс имеет вид треугольника, в трёхмерном пространстве - это тетраэдр и в k-мерном пространстве фигура, имеющая k+1 вершину (фиг.3.5).

Стратегия симплекс-планирования определяется правилами, знание которых позволяет правильно записать исходный симплекс, найти координаты следующих точек при движении и перейти от симплекс-плана к планированию эксперимента, выполняемого для описания почти стационарной области.

Центр симплексов помещают в начало координат, а расстояние между его вершинами (сторону симплекса) принимают равным единице. Ориентируют симплекс в факторном пространстве таким образом, чтобы вершина лежала на оси , а остальные вершины располагались симметрично относительно координатных осей. В этом случае координаты вершин симплексов можно определить, зная радиусы вписанной () и описанной () гипосфер.

X₂

X₁

X₃

X₂

k

i

j

i

j

l

k

X₁

Фиг.3.5. Двух- и трёхмерный симплексы в ортогональной системе координат.  

При симплекс-планировании движение в область оптимума в факторном пространстве осуществляется перемещением симплекса путём последовательного отбрасывания его вершин, имеющих минимальное значение параметра оптимизации, и поворота симплекса вокруг грани, противоположной отброшенной вершине. Например, если в точках 1,2,3 поставлены эксперименты (фиг.3.6) и наихудшее значение параметра оптимизации оказалось в точке 1, то треугольник поворачивают вокруг стороны 2-3, в результате чего получают точку 4, в которой ставят очередной эксперимент. Из точек 2,3 и 4 выбирают наихудшую и снова делают поворот вокруг стороны, противолежащей наихудшей точке. Процедуру повторяют до тех пор, пока симплекс не начнёт вращаться вокруг точки оптимума.

X₂

X₁

j k i

k

i j k

i j k

k

i

j

Фиг.3.6. Поиск оптимальной области симплекс-методом.

Если поверхность отклика близка к линейной, то движение из центра каждого симплекса через грань, противоположную вершине с минимальным значением параметра оптимизации, совпадает по направлению с движением по градиенту, рассчитанному по результатам опытов, выполненных в вершинах симплексов.

Первая задача симплекс-планирования состоит в построении матрицы исходного симплекса, в которую записывают координаты экспериментальных точек. Матрицу исходного симплекса строят путём последовательного перехода от одного симплекса к другому, увеличивая размерность симплексов на единицу. Координаты вершин симплексов можно определить из следующей матрицы:

.

Величины радиусов для вписанной () и описанной () сфер - мерного симплекса определяются формулами:

.

Результаты определения координат вершин симплексов для k=7 приведены в табл.3.14.

Матрицей пользоваться удобнее, если её привести к такому виду, чтобы она соответствовала симплексу с радиусом сферы, равным единице. Для этого все элементы числовой матрицы в табл.3.14 необходимо разделить на величину максимального элемента для симплекса определённой размерности.

Для симплекса, характеризующего два фактора , все элементы матрицы следует разделить на 0,578; при k=3 на 0,612, при k=4 на 0,632 и т.д. Деление на величину максимального элемента приводит к тому, что суммы квадратов элементов для всех столбцов становятся равными. Это условие, а также ортогональность матрицы и симметричное расположение независимых переменных относительно центра эксперимента обеспечивают оптимальность симплекс-планирования. Преобразованные оптимальные матрицы для двух и четырёх факторов приведены в табл.3.15 и 3.16.

Таблица 3.14

Численные значения координат вершин симплекса для k=7

№ опыта								отклик
	-0,500	-0,289	-0,204	-0,158	-0,129	-0,109	-0,0945
	0,500	-0,289	-0,204	-0,158	-0,129	-0,109	-0,0945
		0,578	-0,204	-0,158	-0,129	-0,109	-0,0945
			0,612	-0,158	-0,129	-0,109	-0,0945
				0,632	-0,129	-0,109	-0,0945
					0,645	-0,109	-0,0945
						0,654	-0,0945
							0,662

Таблица 3.15

Матрица симплекс-планирования для двух факторов

№ опытов в исходном симплексе	Факторы		Отклик
	-0,865	-0,500
	+0,865	-0,500

Таблица 3.16

Матрица симплекс-планирования для четырёх факторов

№ опытов в исходном симплексе					отклик
	-0,790	-0,457	-0,323	-0,250
	0,790	-0,457	-0,323	-0,250
		0,914	-0,323	-0,250
			0,969	-0,250
				1,0

После построения матрицы исходного симплекса решается вторая задача симплекс-планирования, а именно, движение в область оптимума.

Перемещение симплекса в факторном пространстве осуществляется путём его поворота вокруг грани, противоположной вершине с минимальным значением параметра оптимизации. Координаты новой вершины следующие:

,

где - координаты новой точки; - среднее из координат всех точек симплекса, кроме "плохой"; - координата "плохой" точки. После построения нового симплекса и проведения опытов в найденной точке вновь решается вопрос о том, какая из точек может быть исключена. Последовательное отображение различных величин симплекса приводит к тому, что центр симплекса перемещается по некоторой ломанной линии. Траектория его движения зависит от порядка, в котором отображаются вершины симплекса. Центр симплекса движется с максимальной скоростью, если порядок отображения вершин соответствует периодически повторяющемуся ряду всех вершин (фиг.3.7). Незакономерная последовательность отображения вершин (некоторые вершины отображаются чаще остальных) замедляет движение центра симплекса.

X₂

X₁

a)

b)

c)

>

Фиг.3.7. Движение по поверхности отклика при симплекс-планировании: a) без ошибок; b) с колебаниями; с) при зацикливании.  

При перемещении симплекса в факторном пространстве может возникнуть ситуация, при которой в новой точке величина параметра оптимизации будет минимальной (как в предшествующей точке). При отбрасывании этой точки происходит возврат к исходному симплексу, а далее симплексы начинают колебаться относительно одной грани. такое возможно, если вершины симплекса располагаются на гребне поверхности отклика. В этом случае рекомендуется уменьшить длину грани симплекса и эксперименты повторить.

При движении симплекса в факторном пространстве может наступить его вращение вокруг одной из вершин - зацикливание симплекса (фиг.3.7). Это свидетельствует о том, что в результате движения достигнута область оптимума. Следует иметь в виду, что причиной зацикливания симплекса может быть и ошибка эксперимента.

Симплекс-планирование является одним из эффективных методов поиска оптимальной области. Метод обладает многими достоинствами: прост для вычислений; не предъявляется особых требований к точности эксперимента (наихудшую ситуацию можно определить приближённо); обеспечивается высокая эффективность при минимальном числе экспериментов. Симплекс-планирование относится к методам, которые можно успешно использовать в промышленных условиях.

Дата добавления: 2015-08-10