Границя числової послідовності

Означення 1. Якщо кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке число а_n, то множину чисел називають числовою послідовністю і позначають {a_n}.

Означення 2. Послідовність {a_n} називається спадною (зростаючою), якщо кожен попередній елемент більший за наступний a_n > a_n+1 (a_n < a_n+1).

Означення 3. Послідовність {a_n} наз. обмеженою зверху (знизу), якщо існують такі числа М>0 (m>0): | a_n |<M (| a_n |>m).

Послідовність {a_n} наз. обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу: m<| a_n |<M.

Дії над послідовностями:

1) { a_n }={ b_n }, якщо a_n = b_n .

Дві послідовності рівні, якщо рівні їх члени.

2) { a_n } { b_n }={ a_n b_n }

3) С { a_n }={С a_n }, С R

4) { a_n } { b_n }={ a_n b_n }

5) { a_n }/{ b_n }={ a_n/b_n }

Означення 4. Число А називається границею послідовності {a_n}, якщо для будь-якого додатного, як завгодно малого наперед заданого числа знайдеться такий номер N=N(), що залежить від , починаючи з якого для всіх номерів n>N() виконується нерівність | a_n- А|< :

>0 N n>N(): | a_n- А|< .

Якщо послідовність має границю, то її називають збіжною, в протилежному випадку − розбіжною.

Приклад 1. За означенням довести, що

◄ Рівність означає, що для будь-якого додатного, як завгодно малого наперед заданого числа знайдеться такий номер N=N(), починаючи з якого для всіх номерів n>N() виконується нерівність Виберемо довільне . Розв’яжемо дану нерівність відносно n:

Візьмемо за N() цілу частину . Таким чином, для кожного можна знайти таке N(), що для всіх n> буде виконуватись нерівність Цим самим доведено, що

Візьмемо, наприклад, Тоді Це означає, що, починаючи з номера всі наступні члени послідовності будуть знаходитись в 0,0001-околі точки 1. ►

Означення 5. Послідовність {a_n} називається нескінченно малою, якщо її границя дорівнює 0:

Властивості нескінченно малих послідовностей:

1) Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей (н.м.п.) є нескінченно мала послідовність.

2) Нескінченно мала послідовність обмежена.

3) Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є н.м.п.

Означення 6. Послідовність {a_n} називається нескінченно великою (н.в.п.), якщо для будь-якого наперед заданого як завгодно великого додатного числа А існує такий номер n, який залежить від А, починаючи з якого для всіх номерів більших за n >N(n) виконується нерівність | а_n |>A:

А>0 N(A) n>N(A): | а_n |>A.

Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо {a_n} – н.м.п., то н.в.п. і навпаки.

Властивості збіжних послідовностей:

Теорема 2. Якщо послідовність {a_n} має границю, то вона єдина.

Теорема 3. Для того, що б існувала скінченна границя числової послідовності {a_n}, необхідно і достатньо, щоб послідовність {a_n} була представлена у вигляді: а_n = _n+ а, де _n – н.м.п.

Теорема 4. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 5. Якщо , то

1)

2)

3)

4)

Теорема 6. (Вейєрштрасса) Якщо послідовність {a_n} монотонно зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу), то вона має скінченну границю.

Обчислення границь послідовностей

Правило 1. Щоб розкрити невизначеність в границі числової послідовності, треба чисельник і знаменник почленно поділити на найбільший степінь п.

Приклад 2. Обчислити .

◄ При чисельник та знаменник даного дробу прямують до нескінченності. Для розкриття невизначеності поділимо чисельник та знаменник дробу на (3 – максимальний степінь n чисельника та знаменника):

Тут врахували те, що , та використали властивість границі послідовності. ►

Приклад 3. Обчислити

◄ При чисельник та знаменник даного дробу прямують до нескінченності. Для розкриття невизначеності поділимо чисельник та знаменник дробу на

Тут врахували те, що ►

Правило 2. Щоб розкрити невизначеність в границі числової послідовності, яка містить радикал, треба домножити і поділити на спряжений вираз.

Тут використовуються формули:

Приклад 3. Обчислити

◄ Для розкриття невизначеності домножимо і поділимо на спряжений вираз:

Дата добавления: 2015-08-10